Л. В. ФЕДОТОВА
Научный руководитель – Р. К. НАРИМАНОВ, к. ф.-м. н., доцент
Томский государственный университет, Россия
АЛГОРИТМ РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН
Рассматривается алгоритм распространяющихся волн и его применение к различным задачам гидродинамики. Особенностью алгоритма является использование дискретной версии функции вместимости, что позволяет применять его в случае нерегулярной области течения.
Алгоритм распространяющихся волн основан на решении задач о распаде произвольного разрыва и использовании корректирующих функций к результирующим волнам[1]. Метод разработан для решения многомерных систем гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных в консервативной и неконсервативной форме.
Рассмотрим алгоритм на примере задачи для одномерного уравнения переноса
(1)
и кусочно-постоянных начальных данных
(2),
где k(x) – функция вместимости.
Задача решается на однородной декартовой сетке методом конечных объемов[2]. Решение системы (1)-(2) при использовании данного алгоритма можно представить в виде набора волн из задачи распада произвольного разрыва, распространяющихся по характеристикам. Решение находится по следующей разностной схеме:
(3)
Здесь 
- левоидущая, а 
- правоидущая потоковая разность, которые вычисляются следующим образом:
(4),
где 
- скачок через р-тую волну в i-той ячейке, 
-скорость р-той волны.
Данный метод предусматривает возможность использования различных потоко – корректирующих функций к результирующим волнам для подавления оссциляций и повышения точности получаемого решения.
На примере задачи одномерной акустики в гетерогенной среде, которая описывается уравнением переноса в векторной форме, рассматривается распространение алгоритма на системы уравнений.
Алгоритм может работать в случае нерегулярных границ и внедренных в область течения тел, так как его отличительным свойством является использование дискретной версии функции вместимости, которая представляет собой отношение площади ячейки, свободной для течения, к площади всей ячейки. Таким образом, каждая нерегулярная ячейка сетки заменяется на стандартную со своим коэффициентом 
.
Использование алгоритма в нерегулярной области рассматривается на решении задачи переноса примеси потенциальным потоком, направленным перпендикулярно к оси бесконечного цилиндра.
В начальный момент времени задается вдувание примеси на левой границе расчетной области, поле скорости задается через функцию тока.
Рис.1 Рис.2
На рис.1 показано распределение вещества в определенный момент времени под действием скорости. На рис.2 показана проверка результатов на сеточную сходимость. Штрихпунктирная короткая линия – сетка 20*20, длинная – сетка 40*40, сплошная линия – сетка 80*80.
Список литературы
1. R. J. LeVeque, Wave – propagation algorithms for multi – dimensional hyperbolic systems, 2002
2. R. J. LeVeque, D. Calhoun, Cartesian Grid Methods for Fluid Flow in Complex Geometries, 2000
