Статика (стр. 15 )

Другая запись осевого момента инерции -  Jz= M⋅ρ2, где ρ – радиус инерции тела.

Матрица моментов инерции в данной точке:

Моменты инерции стержня: ;  .

Сплошной диск: .  Полый цилиндр :,

Теорема Гюйгенса-Штейнера:

  .

Момент инерции относительно произвольной оси: 

если координатные оси  главные, то: 

.

Кинетическая энергия системы

.  Т = ∑Тк.

Теорема Кенига: Т=+.

Поступательное движение: Тпост=. Вращательное: Твр=.

Плоскопараллельное (плоское): Тпл=+,  vC – скорость центра масс.

Работа сил.

Работа силы на элементарном перемещении,  ( учитывая, что )

Работа силы на конечном перемещении определиться интегралом

1. если движение прямолинейное, то  .

2.Если движение точки задано ее уравнениями (см. раздел «динамика точки») то ,

3. Если  , 

Здесь П = П(x, у, z) - потенциальная энергия (или по­тенциал) силового поля. Тогда

и   

   

Мощность

Работа сил, приложенных к твёрдому телу.

.

.

Элементарная работа всех сил будет

   

В случае поступательного движения твердого тела , при вращении тела вокруг неподвижной оси (пусть это будет ось Oz), получим .

В случае плоского движения   

Теорема об изменении кинетической энергии точки и системы:  ,   

Замечая, что , находим

следовательно,  =,

для системы точек будем иметь

   

Интегрируя полученное уравнение, имеем теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме

   

в дифференциальной форме

  , 

Если система есть твёрдое тело, то работа и мощность внутренних сил равна нулю.

Закон сохранения полной механической энергии:   или 

 

Такие механические системы называются консервативными.

Динамика твёрдого тела

Уравнения кинетостатики,

 

где индекс «a» обозна чает активные силы и моменты  активных сил, «r» – силы реакций и моменты  сил реакций, а индекс «»- силы инерции и моменты  сил инерции, которые равны

  , 

Дифференциальные уравнения поступательного движения тела:

В проекциях на оси 

и т. д.

Дифференциальное уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси: 

, или  . если = 0, то ω = const.

Уравнение колебаний физического маятника:

  ,  , 

если  sinφ ≈ φ,  тогда

– дифференциальное  уравнение гармонических колебаний.  Здесь

Решение этого уравнения:

φ = С1coskt + C2 sinkt  или  φ = Аsin(kt + β).

Период малых колебаний физического маятника Т= 2π/k = 2π .

Величину L= называют  приведенной длинной физического маятника.

Дифференциальные уравнения плоского движения тела:

  ; ; .

Задача качения цилиндра (колеса

Если тогда, получим

откуда имеем

    . 

Сила трения между колесом и поверхностью. , при этом  .

Если сила Q больше, то уравнения движения

 

В случае, если  и то колесо будет скользить и не вращаться, т. е. двигаться поступательно.

  Колесо движется под действием момента М.

Уравнения движения запишутся  в виде

,  ,  .