Статика (стр. 4 )

Найдем выражения через вектор-радиус точки на кривой, заданный как вектор-функция дуги: . По определению векторной производной вектор направлен по касательной к годографу вектора в сторону возрастания дуги S. С другой стороны, численная величина производной равна . Таким образом, векторная производная представляет искомый единичный вектор касательной  . Без доказательства примем еще одно выражение  . При естественном способе задания движения:

  Найдем выражения через вектор-радиус точки на кривой, заданный как вектор-функция дуги: . По определению векторной производной вектор направлен по касательной к годографу вектора в сторону возрастания дуги S. С другой стороны, численная величина производной равна . Таким образом, векторная производная представляет искомый единичный вектор касательной  . Без доказательства примем еще одно выражение  . При естественном способе задания движения:

– величина скорости равна производной пройденного пути  по времени, вектор скорости: , – орт касательной, то-есть скорость всегда направлена по касательной к траектории. Если v>0, то движение происходит в сторону положительного  отсчета дуговой координаты и наоборот.

При естественным способе задания движения полное ускорение раскладывают на нормальное и касательное (тангенциальное) ускорения:

,

,

откуда следует 

  . Модуль нормального ускорения: ,  ρ – радиус кривизны траектории, нормальное ускорение направлено по нормали к траектории (⊥ к касательной) всегда к центру кривизны, т. е. в сторону вогнутости. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Модуль касательного ускорения  , направлено по касательной к траектории, либо в сторону скорости, либо в обратную. Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Нормальное ускорение перпендикулярно касательному. При ускоренном движении направление касательного ускорения и скорости совпадают, при замедленном – противоположно.  . Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, его проекция на бинормаль равна 0.

Частные случаи движения точки:

1) Прямолинейное: радиус кривизны ρ= ∞ (бесконечно большой); аn=0, a=aτ.

2) Равномерное криволинейное движение: v=const ; aτ=0, a=an. Ускорение появляется только за счет изменения направления скорости. Закон движения: s=s0+v⋅t, при s0=0  v=s/t.

3) Равномерное прямолинейное движение: а=aτ=an=0. Единственное движение, где а=0.

Кинематика твёрдого тела

Простейшие движения твердого тела: поступательное и вращение вокруг неподвижной оси.

Поступательное движение тела – такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельное самой себе. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения, то-есть тело при движении можно считать точкой.

Вращение вокруг неподвижной оси – такое движение твердого тела, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения тела. При этом движении все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Уравнение (закон) вращательного движения: φ=f(t) – угол поворота тела в радианах. (1 рад= 180о/π=57,3о).

Угловая скорость: , [рад/с] – определяет быстроту изменения угла поворота. Вектор угловой скорости тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, направлен вдоль оси вращения так, что если смотреть ему навстречу вращение будет против хода часовой стрелки. Размерность угловой скорости:  "n"– число оборотов в мин. [об/мин], 1об=2π рад,  (рад/сек). Угловое ускорение тела: , [рад/с2]. Вектор углового ускорения также направлен вдоль оси вращения. При ускоренном движении совпадает по направлению с угловой скоростью и противоположно при замедленном вращении.

Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

– скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус–вектор этой точки. Модуль векторного произведения: v=ω⋅r⋅sin(α)= ω⋅(CM),  (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения (CM=h). Направлен вектор скорости по касательной к окружности, по которой перемещается точка М, в сторону вращения.

,

ωx,ωy,ωz – проекции вектора угловой скорости. Проекция скорости:

  vx=ωyz – ωzy;  vy=ωzx – ωxz;  vz=ωxy – ωyx.

Если ось вращения совпадает с осью z,  то  vx= – ωy;  vy=ωx.

Ускорение точек тела: По определению ускорение точки есть производная от вектора скорости        

    , 

т. к. орт   не меняет своего направления, и, учитывая  что  ,

получим

   

Первое слагаемое - вращательное ускорение, направленное по вектору скорости при ускоренном вращении и против  вектора скорости при замедленном вращении,  модуль вращательного ускорения равен второе слагаемое - есть осестремительное ускорение, направленное всегда к оси вращения и численно равно 

Модуль полного ускорения: .

Угол, между векторами полного и осестремительного ускорений: 

.

Плоское движение твердого тела.

Плоским (плоскопараллельным) называется такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.

Уравнения плоского движения: xA= f1(t), yA= f2(t),

φ = f3(t),  точка А называется полюсом. Плоское движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же, как полюс (А), и из вращательного движения вокруг этого полюса ( оси, проходящей через полюс). Поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а величина и направление угла поворота не зависят. Скорости точек тела при плоском движении:

;  ,  vBA= ω⋅BA,