Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное Учреждение

«Абазинская Средняя Общеобразовательная  школа №50»

учащаяся  10 «Б» класса.

«Составление алгоритма решения задач по теме  «Совместный труд»

       

Выполнила  учащаяся  10 «Б» класса :

Калабина  Ксения Дмитриевна

Руководитель учитель математики:

Абаза 2013-2014 уч. год.

Содержание.

Введение.  3

I.  Теория  решения  задач.  5 

1.1  Особенности  текстовых  задач 

II.  Практическое  моделирование.

2.1  Алгоритм  решения  задач.  7

2.2  Сфера  применения.  15

Заключение  16

Литература  17 

Введение.

В школьном курсе математики решение текстовых задач считается одним из самых сложных для восприятия и усвоения учащимися разделов. С моей точки зрения это связано выработанным алгоритмом решения, который бы позволял рассматривать любую текстовую задачу  как систему, в независимости от того, является ли она задачей на движение, на работу, на смеси или сплавы, на проценты и т. д.

Этой проблемой занимались математики древности: Пифагор, Фалес, Евклид, а также  великие русские ученые и , которые в своих трудах указывали на способы решения трудных задач в занимательной форме.

Практически ни один из школьных учебников традиционной системы не показывает в должной степени методы решения текстовых задач.

В своей исследовательской работе я предлагаю алгоритм решения задач на производительность труда. Так как в сборнике по подготовке к итоговой аттестации 9-ый класс встретил 6 бальные задачи, которые  у меня и моих товарищей вызвали затруднение. Но если пользоваться выработанным алгоритмом, то можно решить задачу из КИМов ЕГЭ 11-ого класса, которые в последние годы встречаются на вступительных экзаменах, и вызывают затруднения у выпускников.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Изложенные ниже факты определили тему моего исследования – «Составления алгоритма решения задач по теме «Совместный труд».

        Объектом исследования является проблема в затруднении решения задач по данной теме.

       Предметом исследования является составление алгоритма решения задач.

       Цель: выявить и осуществить алгоритм на решение задач.

       Задачи:

- проанализировать литературу по данной проблеме;

- рассмотреть различные методики, виды задач на развитие логического мышления;

- применить выработку табличного алгоритма по решению задач.

I Теория о решении задач.


Особенности текстовых задач.

  Математика проникает почти  во все области деятельности человека, что положительно сказалось на темпе роста научно – технического прогресса. В связи с этим стало жизненно необходимо усовершенствовать математическую подготовку подрастающего поколения.

       Решение задач – это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой – либо работе, нужно предварительно хорошо изучить то материал, над которым придётся работать.

       Особенности текста задачи могут определить ход мыслительного процесса при ее решении. Как сориентировать в этих особенностях? Знание ответов на них составляют теоретико-методические положения, на основе которых можно строить конкретный алгоритм решения, который поможет определить поиск способов решения задач.

       Текстовая задача – есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого - либо компонента  этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения.

       Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят.

       Каждая задача – это единство условия и цели. Если нет одного из этих компонентов то нет и задачи. Это очень важно иметь в виду, чтобы проводить анализ текста задачи с соблюдением такого единства. Это означает, что анализ условия задачи необходимо соотносить с вопросом задачи, и наоборот, вопрос задачи анализировать направленно с условием. Их нельзя разрывать, так как они составляют одно целое.

       Математическая задача – это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными отношениями, указанными в условии.

        II  Практическое исследование.

2.1 Алгоритм решения задач.


В задачах «на совместный труд», используются следующие величины:
    Объем работы (V)  (если он не известен и не является искомым, то принимается за 1); Время выполнение работы (Т); скорость выполнения работы (производительность труда, т. е. объем работы, выполняемый за единицу времени) (U);

Для решения таких задач необходимо:
Определить скорость работы (производительность труда) каждого объекта по формуле  U=V/T

  U1; U2; U3…


Определить общую скорость выполнения работы по формуле

Uобщ.=U1+U2+U3  - основная формула для составления уравнений.

При составлении таблиц к этим задачам приходим к выводу, что схемы задач на производительность труда похожи на схемы задач на движение, в которых также участвуют три величины: V; T; S. Таким образом, задачи на производительность труда и задачи на движение укладываются в одну схему.

Задачи  из учебника «Алгебра 9 класс»



    Один  комбайнёр может убрать урожай пшеницы с участка  на 24 часа быстрее, чем другой.  При  совместной работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому комбайнёру, чтобы одному убрать урожай?

При  составлении  таблицы  используем  формулу  U = V/T


U (производительность  труда)

Т (часов)

V (объём  работы)

I

1/х

Х

1

II

1/х + 24

Х+24

1

Оба вместе

1/35

35

1

Зная, что U I+II  = U I + U II  составим  уравнение

1/35 + 1/х + 1/ (х+24)  О. Д.З.  Х≠0; Х≠24

хІ+ 24х = 35х + 840 +35х  О. З.  35х(х+24)

хІ - 46х – 840 +0

Д=46І+4Ч1Ч840+2116+3360+5476  Д >0  √5476=74

Х1+60; 60 затратил I комбайнёр

Х2= -14; не удовлетворяет условию задачи

1) 60+24=84 (ч) – затратил II комбайнёр

Ответ: 60 часов, 84 часа.



    Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый  объём  земляных  работ  за  3 часа 45 минут. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 часа быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?

U (производительность  труда)

Т (часов)

V (объём  работы)

I

1/(х+4)

Х+4

1

II

1/х

Х

1

Оба вместе

4/15

3часа 45 минут = 15/4часа

1

Зная, что UI+II = UI + UII 

Составим  уравнение

4/15 = 1/(х+4)+1/х  О. Д.З.  Х≠0 ; Х≠ - 4

4хІ +16х = 15х+15х+60  О. З. 15x(x+4)

4хІ - 14х – 60= 0

2хІ - 7х – 30 = 0

Д= 49 – 4 Ч 2 Ч (-30) = 49 + 240 =289  Д>0  √289 = 17

Х1=6; 6  работал  II экскаватор

Х2= -5/2; -5/2  - не принадлежит  условию  задачи

1) 6+4 = 10 (ч)  работал I экскаватор

Ответ: 6 часов; 10 часов

Сборник  заданий  для  подготовки  к  итоговой  аттестации  в  9  классе.

    7.24

  (46)

Два  строителя  выложили  стену  из  кирпичей  за  14 дней, причём  второй  присоединился  к  первому  через  3 дня  после  начала  работы. Известно, что  первому  строителю  на  выполнение  всей  работы  потребовалось  бы  на  6 дней  больше, чем  второму.  За  сколько  дней  мог  бы  выложить  эту  стену  каждый  строитель,  работая  отдельно?

При  составлении  таблицы  используем  формулы  U= V/T  V=UЧT

U (производительность  труда)

Т (часов)

V (объём  работы)

I

1/(х+6)

х+6

1

II

1/х

х

1

Оба  вместе

(х+3)/(11х+66)

11

(х+3)/ (х+6)

1-3/(х+6)=(х+3)/(х+6)

I

1/(х+6)

3

3/(х+6)

Зная, что UI+II = UI+UII

Составим уравнение

Х+3/11(х+6)=1/х+6+1/х  О. Д.З.  Х≠0; Х≠ -6

хІ+3х=11х+11х+66  О. З.  11х(х+6)

хІ-19х-66=0

по Т. Виета  Х1+Х2=19  Х=22

  Х1Ч Х2= -66  Х=-3

Х1=22; 22  дня работал II строитель

Х2= -3; 3  не принадлежит условию.

22 + 6=28 (д) – работал I строитель

Ответ: 22 дня; 28 дней



    Две снегоуборочные машины, работая вместе, могут очистить определённую территорию от снега за 4 часа. Если бы сначала первая машина выполнила половину работы, а затем её сменила вторая, то на всю уборку снега ушло бы  9 часов. За какое время может очистить от снега эту территорию каждая машина в отдельности.


U

T(часов)

V

I

0.5/x

x

0.5

II

0.5/(9-x)

9-x

0.5

Оба вместе

1/4

4

1

Зная, что UI+II=UI+UII  составим уравнение:

1/4=0.5/(x+0.5)/(9-x)  О. Д.З. x≠0; x≠4

9x-xІ=18-2x+2x         О. З. 4x(9-x)

xІ-9x+18=0

Д=9І-4(-1)(-18)=81-72=9  Д>0  √9=3 

X1=-9+3/(-2)=3;  если 3 часа – работала I машина, то 6 часов – работала II машина, а если 6 часов I, то 3 часа II.

X2=-9-3/(-2)=6;

Ответ: 3 часа, 6 часов.

ЕГЭ 2010 ГОД.


    Три насоса, работая вместе, заполняют цистерну нефтью за 6 часов. Производительность насосов относится как 9:4:2. Сколько процентов объема будет заполнено за 12 часов совместной работы второго и третьего насосов.


U(производительность труда)

T(час)

V(объем работы)

I

9x=9Ч1/90=1/10

II

4x=4Ч1/90=2/45

III

2x=2Ч1/90=1/45

Вместе

1/6

6

1

Пусть x – 1 часть

1/6=9x+4x+2x

1/6=15x

X=1/6Ч1/15

X=1/90



U(производительность труда)

T(час)

V(объем работы)

II

+

III

3/45

12

x


V=UЧT

V=3/45Ч12=36/45  узнаем сколько это процентов

1-100%

36/45-ч%

x=36/45Ч100/1=80%

Ответ: 80% объема будет заполнено за 12 часов. Совместной работы второго и третьего насосов.

ЕГЭ 2011 ГОД.


    За 4 дня совместной работы два тракториста могут вспахать 2/3 всего поля. Чтобы вспахать всё поле, первый тракторист затратил бы на 5 дней меньше второго тракториста. За сколько дней второй тракторист можеь вспахать всё поле работая один.


U

T

V

I

1/x

x

1

II

1/(x+5)

X+5

1

Вместе

1/6

4

2/3


1/6=1/x+1/(x+5)  О. З.  6x(x+5)

x(x+5)=6(x+5)+6x

xІ+5x=6x+30+6x

xІ-7x-30=0

по Т. Виета 

X1=10  1)10+5=15(д)

X2=-3

Ответ: 15 дней.

ЕГЭ 2010 Демонстрационный вариант.



    Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за три дня?


U

T

V

I

x/2

2

x

II

x/3

3

x

Вместе

1/12

12

1

V=UT

x/2+x/3=1/12  О. З. 12

6x+4x=1

10x=1

x=1/10


U

T

V

I

1/20

2

1/10

I

1/20

y

1


T=V/U

y=1/1/20

y=20(д)

Ответ: 20 дней.



Сфера применения

Умение решать задачи – показатель математического развития учащихся, их логического мышления. Ученикам нравится решать то, что у них получается, то, что поддается алгоритмизации. А текстовые задачи настолько разнообразны, что порой трудно увидеть в предлагаемой задаче уже знакомую. Этому помогает модулирование условия задачи с помощью таблиц и схем. Таким образом, научиться решать задачи это научиться моделированию условия задачи и переводу его с языка русского на язык математический.

Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ с момента его существования говорят о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет год от года чуть больше или меньше 30%. Можно сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеет техникой решения текстовых задач и не умеет за их часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания более глубокого изучения этого традиционного раздела элементарной математики.

Вывод:

Многие  трудности при решении задачи возникают потому, что учащиеся  не умеют записывать в виде выражений содержащуюся  в  условии  задачи информацию. Моделирование  ситуации  с  помощью таблиц  помогает  переводу  текста  условия  задачи  на  математический  язык  выражений  и  их  равенств. При решении  задач  с помощью  уравнений  в  курсе  алгебры, у  учащихся, как  правило, возникают трудности  при  работе  с  задачами  на  производительность  труда  или  так  называемыми  задачами на  «совместный  труд». В задачах такого  типа  сложный  сюжет и его не всегда легко перевести на язык чисел. Если выделенный тип задач подвергнуть более детальному  рассмотрению, то получим  следующие результаты.

Заключение.

Решение  задач  способствует, с одной стороны, закреплению  на практике  приобретённых  умений  и  навыков, с другой  стороны, развитию  логического  мышления  учащихся. Наблюдается  активизация  их  мыслительной  деятельности, развивается  активность, наблюдается  находчивость, сообразительность, смекалка, развивается  абстрактное  мышление, умение  применять  теорию к решению конкретных задач. Данная  работа  окажет  помощь  учителю  для  составления  элективного  курса  по теме «Решение  задач», а учащимся  в подготовке  к  выпускным  экзаменам в девятом и одиннадцатом  классе. 

Литература.


ЕГЭ, КИМ, 2010г., математика 11 класс ЕГЭ, КИМ, 2012г., математика 11 класс. ЕГЭ, КИМ, 2012г., математика 11 класс. ЕГЭ, КИМ, 2 , «Урок математики подготовка и проведение», книга для учителя, М-«Просвещение», 2007г. и др. «Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре для выпускников 9 классов общеобразовательных учреждений», М-«Просвещение», 2006г. «Алгебра 9 класс, итоговая аттестация», учебно-методическое пособие, Издательство «Легион», Ростов-на-Дону, 2007г. , , «Алгебра», учебник для 9 класса средней школы, Просвещение, 2004г.