[ Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
При решении многих задач требуется найти функции 
, 
,…, 
, которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих аргумент 
, искомые функции 
, 
, …, 
и их производные.
Рассмотрим систему уравнений первого порядка
(1)
где 
, 
, …, 
– искомые функции, 
– аргумент.
Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.
Проинтегрировать систему – значит определить функции 
, 
, …, 
, удовлетворяющие системе уравнений (1).
Интегрирование системы вида (1) можно произвести следующим образом.
Дифференцируем по 
первое из уравнений (1):
. (2)
Заменяя производные 
, 
,…, 
их выражениями 
, 
, …, 
из уравнений (1), будем иметь уравнение
.
Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдем
.
Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, уравнение
.
Итак, мы получает следующую систему
(3)
Из первых 
уравнений определим 
, 
, …, 
, выразив их через 
, 
и производные 
, 
, …, 
(предполагается, что эти операции выполнимы):
(4)
Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (3), получим уравнение 
-го порядка для определения 
. (5)
Решая это уравнение, определим 
:
. (6)
Дифференцируя последнее выражение 
раз, найдем производные 
, 
, …, 
как функции от 
. Подставляя эти функции в уравнения (4), определяем 
, 
, …, 
:
(7)
Замечание 1. Если система (1) линейна относительно искомых функций, то и уравнение (5) будет линейным.
Примеры. Найти решения систем дифференциальных уравнений.
1) 
.
Составим новую систему:
.
Подставим во второе уравнение последней системы:
,
, 
.
Общее решение системы имеет вид:
. 
2) 
.
, 
.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
