⎛ ∞  x<-a 

U(x) = ⎨ α⋅δ(x) - a<x<a

  ⎝∞  x>a

Получить условия квантования для четных и нечетных уровней и исследовать задачу при малой проницаемости δ-функционного барьера mα/ħ2k >>1.

2. Определить уровни энергии и волновые функции частицы массы m, движущейся в одномерном осцилляторном потенциале вида:

U(x) = ⎛ mω2x2/2  x>0

  ⎝ ∞  x<0

В основном состоянии вычислить <x> и <px>.

3. В основном состоянии частицы в бесконечно глубокой четной яме

U(x) =⎛ ∞  для |x|>a 

  ⎝ 0  для |x|<a

вычислить вероятности различных значений проекции импульса px, а также <px>.

4. Вычислить коэффициенты прохождения D и отражения R при падении потока частиц с массой m на прямоугольный барьер:

U(x) = ⎛ 0  для x<0

  ⎝ U0  для x>0

Рассмотреть случаи: a) энергия E частиц в падающем на барьер потоке больше высоты барьера U0 (E>U0); b) энергия E частиц в падающем на барьер потоке положительна, но меньше U0 (0<E<U0). 

Часть 2. Операторы в квантовой механике

5. Показать, что среднее значение произведения операторов ВВ+ в произвольном состоянии с волновой функцией Ψ(x) неотрицательно, т. е. <ВВ+> ≥ 0.

6. a) Вычислить коммутатор операторов [Mx, pz2].

b) Известно, что коммутатор двух операторов [в,ĝ] =1. Показать, что [в, f(ĝ)] = df(ĝ)/dĝ , где f - произвольная функция, разложимая в ряд Тейлора. 

c) Доказать, что четность I сохраняется для движения частицы в одномерном потенциальном поле U(x) = U0(x-a)(x+a).

d) Доказать, что при движении в однородном поле U(z) = - Fz (здесь сила F постоянна) сохраняются Mz, px и py.

7. Найти собственные функции и собственные значения радиальной части оператора Лапласа Ĉ=(1/r2)d/dr(r2d/dr) в сферических координатах, используя требования конечности, непрерывности и однозначности волновой функции. Абсолютная величина радиус-вектора r≥0. 

Часть 3. Момент, спин и теория возмущений

8. Частица находится в состоянии с моментом l=1 и его проекцией m на ось квантования z, равной 0 ( то есть m=0). Найти вероятности различных значений проекции момента m на ось z`, наклоненную под углом α к оси z. Вычислить среднее значение <Mz`> . 

9. Сложить два спина 1/2. Выразить спиновую волновую функцию суммарной системы, отвечающую полному спину S=1 и его проекции Sz=0 через одночастичные спиновые волновые функции, являющиеся собственными функциями оператора ŝz для первого и второго спина.

10. Рассмотреть эффект Штарка для атома водорода на уровне с n=2. Найти расщепление уровней и правильные волновые функции каждого подуровня.