ЕГЭ 2016 Задание №17 Задачи на оптимальный выбор (стр. 3 )

руб.

Ответ: 53 500 руб.

6. Пер­вич­ная ин­фор­ма­ция раз­де­ля­ет­ся по сер­ве­рам №1 и №2 и об­ра­ба­ты­ва­ет­ся на них. С сер­ве­ра №1 при объёме t2 Гбайт вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит 20t Гбайт, а с сер­ве­ра №2 при объёме t2 Гбайт вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит Гбайт об­ра­бо­тан­ной ин­фор­ма­ции;

25 < t < 55. Каков наи­боль­ший общий объём вы­хо­дя­щей ин­фор­ма­ции при общем объёме вхо­дя­щей ин­фор­ма­ции в 3364 Гбайт?

Ре­ше­ние.

Пусть на сер­ве­ре №1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся а на сер­ве­ре №2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся Гбайт из всей пер­вич­ной ин­фор­ма­ции. Тогда а об­ра­бо­та­но будет Гбайт ин­фор­ма­ции. Вы­ра­зим через Тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

Не­труд­но за­ме­тить, что — точка мак­си­му­ма функ­ции, при этом Усло­вия вы­пол­не­ны. Зна­чит,

Ответ: 1682.

7. Антон яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в ра­зных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дит­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры при ис­поль­зо­ва­нии оди­на­ко­вых тех­но­ло­гий. Если ра­бо­чие на одном из за­во­дов тру­дят­ся сум­мар­но t2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­водт t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, Антон пла­тит ра­бо­че­му 250 руб­лей, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, — 200 руб­лей.

Антон готов вы­де­лять 900 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

Ре­ше­ние.

Пусть на опла­ту труда ра­бо­чих пер­во­го за­во­да вы­де­ле­но x руб., а вто­ро­го — остав­ши­е­ся (900 000 −x) руб. Тогда на пер­вом за­во­де можно опла­тить часов ра­бо­ты, а на вто­ром — часов ра­бо­ты. Ко­ли­че­ство про­из­ведённого за не­де­лю то­ва­ра равно квад­рат­ным кор­ням из этих ве­ли­чин, по­это­му для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

на от­рез­ке Найдём про­из­вод­ную:

Решая урав­не­ние по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку про­из­вод­ная не­пре­рыв­ной функ­ции f по­ло­жи­тель­на на ин­тер­ва­ле (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и от­ри­ца­тель­на на ин­тер­ва­ле (400 000; 900 000), функ­ция f до­сти­га­ет наи­боль­ше­го на от­рез­ке [0; 900 000] зна­че­ния в точке 400 000. Найдём его:

Тем самым, наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство то­ва­ра, ко­то­рое могут про­из­ве­сти ра­бо­чие за не­де­лю при за­дан­ном раз­ме­ре опла­ты труда, равно 90 еди­ни­цам.

Ответ: 90.

8. Гри­го­рий яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те, если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 3t еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 4t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Гри­го­рий пла­тит ра­бо­че­му 500 руб­лей.

Гри­го­рий готов вы­де­лять 5 000 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

Ре­ше­ние.

Пусть на пер­вом за­во­де ра­бо­та­ют сум­мар­но , а на вто­ром — часов в не­де­лю. Тре­бу­ет­ся найти мак­си­мум суммы при усло­вии

Вы­ра­зим из пер­во­го со­от­но­ше­ния: под­ста­вим в (*), по­лу­чим урав­не­ние:

По­лу­чен­ное урав­не­ние имеет ре­ше­ния, если не­от­ри­ца­те­лен его дис­кри­ми­нант, а зна­чит, и чет­верть дис­кри­ми­нан­та:Тем самым, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние равно 500. По­ка­жем, что оно до­сти­га­ет­ся при на­ту­раль­ных зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных: дей­стви­тель­но, из (**) на­хо­дим, что зна­че­нию со­от­вет­ству­ет а тогда

Ответ: 500 еди­ниц то­ва­ра.

9.Вла­ди­мир яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в ра­зных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те, если ра­бочие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, трудят­ся сум­мар­но t 2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 2t еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t 2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 5t еди­ниц то­ва­ра.