За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Вла­ди­мир пла­тит ра­бо­че­му 500 руб­лей. Вла­ди­ми­ру нужно каж­дую не­де­лю про­из­во­дить 580 еди­ниц то­ва­ра. Какую наи­мень­шую сумму при­дет­ся тра­тить еже­не­дель­но на опла­ту труда ра­бо­чих?

Ре­ше­ние.

До­пу­стим, что на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, ра­бо­чие тру­дят­ся x2 часов, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, y2 часов. Тогда в не­де­лю будет про­из­ве­де­но 2x + 5y еди­ниц то­ва­ра, а за­тра­ты на опла­ту труда со­ста­вят 500(x2 + y2) руб­лей. В этом слу­чае нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние 500(x2 + y2) при усло­вии 2x + 5y =580. Вы­ра­зим y через x:

Таким об­ра­зом, нам нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

при 0 ≤ x ≤ 290. После пре­об­ра­зо­ва­ния по­лу­ча­ем:

Наи­мень­шее зна­че­ние квад­рат­но­го трёхчле­на до­сти­га­ет­ся при причём При этом зна­че­нии по­лу­ча­ем:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Ответ: 5 800 000.

10. Про­из­вод­ство x тыс. еди­ниц про­дук­ции об­хо­дит­ся в q = 0,5x2 + x + 7 млн руб­лей в год. При цене p тыс. руб­лей за еди­ни­цу го­до­вая при­быль от про­да­жи этой про­дук­ции (в млн руб­лей) со­став­ля­ет px − q. При каком наи­мень­шем зна­че­нии p через три года сум­мар­ная при­быль со­ста­вит не менее 75 млн руб­лей?

Ре­ше­ние.

При­быль (в млн руб­лей) за один год вы­ра­жа­ет­ся ве­ли­чи­ной

Это вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным трёхчле­ном и до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния при x = p − 1. При­быль со­ста­вит не менее 75 млн руб­лей, если

то есть при p ≥ 9, по­сколь­ку цена про­дук­ции не может быть от­ри­ца­тель­ной. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние p = 9, ис­ко­мая наи­мень­шая цена 9 тыс. руб.

Ответ: p = 9.

11. Про­из­вод­ство x тыс. еди­ниц про­дук­ции об­хо­дит­ся вq = 0,5x2 + 2x + 5 млн руб­лей в год. При цене p тыс. руб­лей за еди­ни­цу го­до­вая при­быль от про­да­жи этой про­дук­ции (в млн руб­лей) со­став­ля­ет px − q. При каком наи­мень­шем зна­че­нии p через че­ты­ре года сум­мар­ная при­быль со­ста­вит не менее 52 млн руб­лей?

Ре­ше­ние.

При­быль (в млн руб­лей) за один год вы­ра­жа­ет­ся как

Это вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным трёхчле­ном и до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния приx = p − 2. Наи­боль­шее зна­че­ние равно Через 4 года при­быль со­ста­вит не менее 52 млн руб­лей при

то есть при p ≥ 8, по­сколь­ку цена про­дук­ции не может быть от­ри­ца­тель­ной. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние p = 8.

Ответ: p = 8.

12. Стро­и­тель­ство но­во­го за­во­да стоит 78 млн руб­лей. За­тра­ты на про­из­вод­ство х тыс. ед. про­дук­ции на таком за­во­де равны млн руб­лей в год. Если про­дук­цию за­во­да про­дать по цене р тыс. руб­лей за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в млн руб­лей) за один год со­ста­вит . Когда завод будет по­стро­ен, фирма будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы при­быль была наи­боль­шей. При каком наи­мень­шем зна­че­нии р стро­и­тель­ство за­во­да оку­пит­ся не более, чем за 3 года?

Ре­ше­ние.

Чтобы при­быль за три года была не мень­ше 78 млн руб. не­об­хо­ди­мо, чтобы еже­год­ная при­быль была не мень­ше 26 млн руб., то есть, чтобы вы­пол­ня­лось не­ра­вен­ство

от­ку­да, ис­поль­зуя не­ра­вен­ство между сред­ним ариф­ме­ти­че­ским и сред­ним гео­мет­ри­че­ским, по­лу­ча­ем:

Тем самым, ис­ко­мое зна­че­ние па­ра­мет­ра равно 10.

Ответ: 10

13. У фер­ме­ра есть два поля, каж­дое пло­ща­дью 10 гек­та­ров. На каж­дом поле можно вы­ра­щи­вать кар­то­фель и свёклу, поля можно де­лить между этими куль­ту­ра­ми в любой про­пор­ции. Уро­жай­ность кар­то­фе­ля на пер­вом поле со­став­ля­ет 500 ц/га, а на вто­ром — 300 ц/га. Уро­жай­ность свёклы на пер­вом поле со­став­ля­ет 300 ц/га, а на вто­ром – 500 ц/га.

Фер­мер может про­дать кар­то­фель по цене 5000 руб. за цент­нер, а свёклу — по цене 8000 руб. за цент­нер. Какой наи­боль­ший доход может по­лу­чить фер­мер?

Ре­ше­ние.

Про­да­вать свек­лу более вы­год­но, по­это­му вто­рое поле, где ее уро­жай­ность выше, сле­ду­ет за­са­дить толь­ко свек­лой. Она при­не­сет доход 10 га · 500 ц/га · 8000 руб/ц = 40 млн руб.

На пер­вом более уро­жай­ность свек­лы со­став­ля­ет 300/500 = 0,6 уро­жай­но­сти кар­то­фе­ля, а сто­и­мость свек­лы 8000/5000 = 1,6 сто­и­мо­сти кар­то­фе­ля. Про­из­ве­де­ние этих по­ка­за­те­лей мень­ше 1, по­это­му вы­ра­щи­вать свек­лу не­вы­год­но: по­те­ри от мень­шей уро­жай­но­сти не ком­пен­си­ру­ют­ся более вы­со­кой вы­руч­кой. Сле­до­ва­тель­но, все поле сле­ду­ет за­се­ять кар­то­фе­лем, он при­не­сет доход 10 га · 500 ц/га · 5000 руб/ц = 25 млн руб.

Тем самым, наи­боль­ший воз­мож­ный доход фер­ме­ра равен 65 млн руб.

Ответ: 65 млн руб.

14. Пред­при­ни­ма­тель купил зда­ние и со­би­ра­ет­ся от­крыть в нём отель. В отеле могут быть стан­дарт­ные но­ме­ра пло­ща­дью 27 квад­рат­ных мет­ров и но­ме­ра «люкс» пло­ща­дью 45 квад­рат­ных мет­ров. Общая пло­щадь, ко­то­рую можно от­ве­сти под но­ме­ра, со­став­ля­ет 981 квад­рат­ный метр. Пред­при­ни­ма­тель может по­де­лить эту пло­щадь между но­ме­ра­ми раз­лич­ных типов, как хочет. Обыч­ный номер будет при­но­сить оруб­лей в сутки, а номер «люкс» — 4000 руб­лей в сутки. Какую наи­боль­шую сумму денег смо­жет за­ра­бо­тать в сутки на своём отеле пред­при­ни­ма­тель?

Ре­ше­ние.

Пусть в отеле будет х но­ме­ров пло­ща­дью 27 кв. м и у но­ме­ров пло­ща­дью 45 кв. м. Тогда или (*). При­быль, ко­то­рую будут при­но­сить эти но­ме­ра, равна или При­быль будет наи­боль­шей при наи­боль­шем зна­че­нии суммы Пусть тогда от­ку­да, под­став­ляя в (*), по­лу­ча­ем:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6