Научно-исследовательская работа по теме «_Математика и шифры » (стр. 1 )

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №1

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

по теме «_Математика и шифры »

Болдырева Ирина,8 «в»класс

Руководитель

( ,

учитель математики)

г. Узловая, 2014_

Введение

Два человека  обмениваются письмами, в которых содержится очень важная и опасная для них обоих информация. Могут ли они так зашифровать свои послания, чтобы никто другой не смог их прочитать? Императоры, купцы, шпионы задавали себе подобные вопросы на протяжении 25 веков, с момента появления первых шифров. И отвечали на них по-разному. Шерлок  Холмс, например, полагал, что ему по силам любой шифр. Такое самомнение, конечно, простительно выдуманному герою, но само по себе убеждение было не лишено оснований. Многие кодировки,  считавшиеся  недоступными, в конце концов, были благополучно разгаданы.

Изменение текста с целью сделать его понятным только избранным дало начало науке криптографии (греч. «тайное письмо»). Процесс преобразования текста, написанного общедоступным языком, в текст, понятный только адресату, называют шифрованием, а сам способ такого преобразования называют шифром. Но если есть желающие скрыть смысл текста, то найдутся и желающие его прочитать.

Так возможно ли создать абсолютно надежный шифр?

Историческая справка.

Как только люди научились писать, у них сразу же появилось желание

сделать написанное понятным не всем, а только узкому кругу. Даже в самых древних памятниках письменности учёные находят признаки намеренного искажения текстов: изменение знаков, нарушение порядка записи и т. д.

Потребность в таком способе письма, который скрывал бы смысл написанного от постороннего взгляда и делал бы его доступным лишь для немногих посвященных, существует у людей с древних пор. Отсюда и возникло искусство секретного письма, разросшееся в наши дни чуть ли не до размеров целой науки – криптографии (от греческого - тайнопись). Одни тексты создавались для всех, как, скажем законы вавилонского царя Хамураппи, написанные почти за два тысячелетия до нашей эры: царь повелел выбить текст этих законов на каменной стеле, чтобы каждый мог узнать о них. Другие тексты надо было держать в строжайшей тайне. О тайнописи упоминает еще Геродот и даже приводит образцы таких писем, которые понятны лишь адресату.

По свидетельству Плутарха, у спартанцев были в употреблении специальные механические приборы для записывания и прочтения тайных посланий. Для записывания религиозных тайн жрецы пользовались особыми письменами, непонятными для непосвященных. Известно, что к криптографии прибегал Юлий Цезарь в своем дневнике о войне в Галии, он сам изобрел шифр, довольно простой: «сдвинул» алфавит на три буквы вверх, так что букве «А» латинского алфавита соответствовала буква «Д» и так далее. Дешифровка записей Цезаря очень проста. То же можно сказать о шифре другого императора – Карла Великого. Тот пользовался выдуманным алфавитом с начертанием букв совсем иным, чем в общеупотребительном.

В средние века над изобретением и усовершенствованием криптографических систем  работали многие выдающиеся умы, как например, философ Бекон Веруламский, математик Виет,  историк Гуго Гроцкий и др.

Но высшего развития криптография достигла лишь в новое время. Криптография была продуктом выдумки и опыта авторов секретной информации. Поначалу она развивалась усилиями людей, которым была необходима, - дипломатов, военных, разведчиков, изобретателей (до оформления патента им надо было сохранить изобретение в тайне) и т. д. И только в наше время, когда в жизнь вошли компьютеры, и когда в 1945 году была опубликована «Теория связи в секретных системах», разработанная американским математиком Шенноном, криптография получила статус науки. Под «секретными системами» понимаются такие, где смысл сообщения скрывается при помощи определенного кода. Но не следует думать, что с появлением компьютеров и теоретических основ, созданных Шенноном, старая классическая криптография перестала быть помощницей в тайных серьезных делах. Вы сами можете судить, насколько много в криптографии «математики».

Методы чтения таких текстов изучает наука криптоанализ. Хотя сами методы криптографии и криптоанализа до недавнего времени были не очень тесно связаны с математикой, во все времена многие известные математики участвовали в расшифровке важных сообщений. И часто именно они добивались заметных успехов, ведь математики в своей работе постоянно имеют дело с разнообразными и сложными задачами, а каждый шифр — это серьезная логическая задача.

Постепенно роль математических методов в криптографии стала возрастать, и за последнее столетие они существенно изменили эту древнюю науку.

Цель работы: изучить применение основ математики в криптологии.

Задачи:

1.  изучить историю криптографии;

2.  познакомиться с разными видами шифров;

3.  рассмотреть способы шифрования;

4.  осуществить шифровку и дешифровку текста.

Поговорим о возможностях скрыть информацию…

ШИФР (БСЭ)

(франц. chiffre, буквально — цифра, от араб. сифр — нуль) совокупность условных знаков, применяемых для секретной переписки дипломатических представителей (послов, атташе и др.) со своими правительствами, а также в вооруженных силах для передачи приказов, распоряжений, донесений. Шифрование производится путём замены целых фраз, слов, слогов или отд. букв цифрами или буквами в различных комбинациях на основе заранее принятой системы, являющейся соответственно ключом для расшифровки текста. Применяется также двойной Шифр, требующий двойной расшифровки при помощи двух ключей. Шифр не всегда гарантирует абсолютную тайну секретной переписки, т. к. даже к очень сложным Ш. может быть подобран ключ путём расчётов, вычислений повторяемости отдельных знаков и т. п.

1. Стеганография
Стеганография является более древней, чем коды и шифры, и обычно её называют тайнописью, искусством скрытой записи. Например, сообщение может быть написано на бумаге, покрытой воском, и гонец должен проглотить его и таким образом обеспечить скрытность, а в нужный момент отрыгнуть, чтобы сообщение можно было прочитать.

Другим способом является татуировка сообщения на гладко выбритой голове посланника, затем надо подождать, когда волосы опять вырастут, чтобы скрыть сообщение.

Лучший способ тайнописи — это использование обычных предметов для сокрытия сообщения. В Англии был популярен метод тайнописи, для которого использовали обычную газету с крошечными точками под буквами на первой странице, которые указывали, какие буквы следует читать, чтобы получить сообщение.

Некоторые люди могли составить сообщение, используя первые буквы каждого слова в каком-либо тексте или используя невидимые чернила. Конкурирующие страны могут так уменьшить текст, что целая страница текста становится размером с пиксель, который будет незаметен для постороннего глаза.

Стеганографию лучше всего использовать в сочетании с кодом или шифром, так как существует риск, что тайное послание может быть обнаружено.
  Таблицы

Можно зашифровать текст, предварительно записав его в таблицу. Только заранее нужно договориться, какой буквой будут отмечать пробелы между словами.

Небольшая подсказка - это должна быть распространенная буква (типа р, к, л, о), потому что за редко встречающиеся в словах буквы сразу цепляется взгляд и из-за этого текст легко расшифровывается. Также нужно обговорить, какой по величине будет таблица и каким образом  будут вписывать слова (слева направо или сверху вниз).

Давайте вместе зашифруем фразу с помощью таблицы: Ночью идем ловить карасей.

Пробел будем обозначать буквой "р", слова пишем сверху вниз. Таблица 9 на 3 (рисуем в клеточках обычного тетрадного листа).

Вот что у нас получается:
Н Ь И М О Т К А Й
О Ю Д Р В Ь А С Р
Ч Р Е Л И Р Р Е.

Решетка

Для того, чтобы прочесть текст, зашифрованный таким образом, вам и вашему другу понадобится одинаковые трафареты: листы бумаги с вырезанными на них в произвольном порядке квадратиками.

Шифровку нужно писать на листке точно такого же формата, как и трафарет. Буквы пишутся в клеточки-дырки (причем тоже можно писать, например, справа-налево или сверху-вниз), остальные клеточки заполняются любыми другими буквами.

  Подстановочные системы.

  Простейшим примером подстановочной системы служит такая,  где каждая буква незашифрованного текста  всегда заменяется одним и тем же эквивалентом. Это, по всей видимости, самый известный тип шифра и первое, что обычно приходит в голову  новичку в криптографии. Очевидно, что выбор эквивалента  не играет принципиальной роли. Но как это не удивительно, многие люди считают, что использование сложных случайных символов обеспечивает системе большую надежность, нежели применение букв и цифр.

Простейший способ реализации такой системы – выписать эквиваленты в форме подстановочного алфавита,  который состоит из исходной и шифровальной последовательностей, расположенных одна над другой. Букву незашифрованного текста нужно найти в первой последовательности и заменить соответствующим знаком из второй. Например, если пользоваться подстановочным алфавитом,

  Исходная последовательность

АБВГДЕЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ

  Шифровальная последовательность

АГЖЙМТХШЫЮБДЗКНРУЦЩЯВЕИЛОСФЧЪЭ,

То предложение ВОЗВРАЩАЙСЯ ДОМОЙ ВСЕ ЗАБЫТО зашифровывается так: ЖКХЖР АЛАЫУ ЭМКДК ЫЖУПХ АГСЦК.

Обычно в подстановочном алфавите подстановочная последовательность – это нормальный алфавит. В этих случаях для определения всего подстановочного алфавита достаточно задания одной шифровальной последовательности. В зависимости от способа, которым стоится шифровальная последовательность, подстановочные алфавиты делятся на три класса.

Стандартные алфавиты. Здесь шифровальная последовательность – циклическая перестановка нормального алфавита или обращенного нормального алфавита.

Это самый старый из известных типов подстановочных алфавитов. Иногда такие системы шифрования системами Юлия Цезаря. Однако, Цезарь использовал лишь один из возможных стандартных алфавитов; у него шифровальной последовательностью всегда был нормальный алфавит, начинающийся с буквы D.