Алгоритм решения задач по теме
«Равномерное прямолинейное движение»
Задача 1
Поезд за 2 ч прошел 144 км. Вычислите скорость поезда.
Рассмотрим два варианта решения данной задачи
Вариант 1
Анализ | Решение задачи | ||
Вспомним: В часах измеряется время. Обозначается время буквой t В километрах измеряется путь. Обозначается путь буквой s Скорость обозначается буквой V На основании анализа текста задачи записываем краткое условие |
| ||
Переведем значения в СИ. Для этого вспомним: 1 км = 1000 м 1 ч = 3600 с |
| ||
Записываем формулу скорости равномерного движения. |
| ||
Подставляем в формулу значения. Вычисляем скорость. |
|
Вариант 2
Анализ | Решение задачи | ||
Вспомним: В ч измеряется время. Обозначается время буквой t В км измеряется путь. Обозначается путь буквой s Скорость обозначается буквой V На основании анализа текста задачи записываем краткое условие |
| ||
Записываем формулу скорости равномерного движения. |
| ||
Подставляем в формулу значения. Вычисляем скорость. |
| ||
Переведем ответ в СИ. Для этого вспомним: 1 км = 1000 м 1 ч = 3600 с |
|
Задача 2
Поезд 2 ч двигался со скоростью 108 км/ч. Определите путь, пройденный поездом. Ответ представьте в СИ.
Вариант 1
Анализ | Решение задачи | ||
Вспомним: В ч измеряется время. Обозначается время буквой t В км/ч измеряется скорость. Обозначается скорость буквой V Путь обозначается буквой s На основании анализа текста задачи записываем краткое условие |
| ||
Вспомним: 1 ч = 3600 с 1 км = 1000 м Переводим значения времени и скорости в СИ |
| ||
Записываем формулу скорости равномерного движения. |
| ||
Из формулы скорости равномерного движения выражаем путь |
| ||
Подставляем в формулу значения. Вычисляем путь. |
|
Вариант 2
Анализ | Решение задачи | ||
Вспомним: В ч измеряется время. Обозначается время буквой t В км/ч измеряется скорость. Обозначается скорость буквой V Путь обозначается буквой s На основании анализа текста задачи записываем краткое условие |
| ||
Записываем формулу скорости равномерного движения. |
| ||
Из формулы скорости равномерного движения выражаем путь |
| ||
Подставляем в формулу значения. Вычисляем путь. |
| ||
Переведем ответ в СИ. Для этого вспомним: 1 км = 1000 м |
|
Задача 3
Поезд, двигаясь со скоростью 108 км/ч, прошел 18 км. Определите время движения поезда. Ответ представьте в СИ.
Вариант 1
Анализ | Решение задачи | ||
Вспомним: В км/ч измеряется скорость. Обозначается скорость буквой V В км измеряется путь. Обозначается путь буквой s Время обозначается буквой t На основании анализа текста задачи записываем краткое условие |
| ||
Записываем формулу скорости равномерного движения. |
| ||
Вспомним: 1 км = 1000 м 1 ч = 3600 с Переводим значения пути и скорости в СИ |
| ||
Из формулы скорости равномерного движения выражаем время |
| ||
Подставляем в формулу значения. Вычисляем время. |
|
Вариант 2
Анализ | Решение задачи | ||
Вспомним: В км/ч измеряется скорость. Обозначается скорость буквой V В км измеряется путь. Обозначается путь буквой s Время обозначается буквой t На основании анализа текста задачи записываем краткое условие |
| ||
Записываем формулу скорости равномерного движения. |
| ||
Из формулы скорости равномерного движения выражаем время |
| ||
Подставляем в формулу значения. Вычисляем время. |
| ||
Переведем ответ в СИ. Для этого вспомним: 1 ч = 3600 с |
|
Задача 4
Уравнение движения тела имеет вид: x=20t. Необходимо: определить характер движения; найти начальную координату точки; выявить модуль и определить направление скорости; найти графический и аналитический смысл x через 15 секунд; определить время (t), когда x=100 м.
Решение:
1. Уравнение x = xo + vt — это равномерное прямолинейное движение.
2. Начальная координата точки xo = 0.
3. Скорость точки — это коэффициент при t, то есть v = 20 м/с. Скорость положительна, следовательно, точка движется вдоль выбранного направления оси координат x.
4. Через 15 с координата точки будет равна x = 300 м. Графически — нарисовать в осях координат x(t) по точкам прямую, которая будет проходить через точки (0 с; 0 м) и (15 с; 300 м). Через 15 с координата (по графику) будет 300 м.
5. При x = 100 м: 100 = 20t, отсюда t = 5 c.
Задача 5
Первую половину пути автомобиль проехал со средней скоростью v1 = 60 км/ч, а вторую — со средней скоростью v2 = 40 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на всем пути.
Решение: проанализируем условие задачи: первую половину пути автомобиль проехал со скоростью
60 км/ч и затратил время, равное
t1 | = | S/2 | |
v1 |
Вторую половину пути автомобиль проехал со скоростью 40 км/ч и затратил время, равное
t2 | = | S/2 | . |
v2 |
По определению, средняя скорость V при равномерном прямолинейном движении равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени.
Подставляя значения скорости в формулу средней скорости, получим:
V = | 2 • 60 • 40 | = 48 км/ч. |
60 + 40 |
Средняя скорость равна 48 км/ч.
Задача 6.
Первую половину времени автомобиль двигался со средней скоростью v1 = 40 км/ч, а вторую — со средней скоростью v2 = 60 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на всем пути.
Решение: в отличие от предыдущий задачи, автомобиль движется первую половину времени с одной скоростью 40 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 60 км/ч. Следовательно, автомобиль проходит за равные промежутки времени разные расстояния.
S1 | = | v1 | t |
2 |
и
S2 | = | v2 | t | , |
2 |
V = | S1 + S2 | = | v1t/2 + v2t/2 | = | v1 + v2 | . |
t | t | 2 |
тогда средняя скорость
Средняя скорость для этого случая оказалась равной среднему арифметическому значению скоростей.
Подставим значения скоростей и проведем вычисления:
V = | 40 + 60 | = 50 км/ч. |
2 |
Средняя скорость равна 50 км/ч.
Задача 7 Автомобиль проходит первую треть пути со скоростью v1, а оставшуюся часть пути – со скоростью v2 = 50 км/ч. Определить скорость на первом участке пути, если средняя скорость на всем пути V = 37,5 км/ч.
Решение: обозначим весь путь через S; время, затраченное на прохождение первого участка пути, — через t1; время движения на втором участке пути — через t2. Очевидно, что
t1 + t2 | = | S | + | 2S | . |
3v1 | 3v2 |
t1 + t2 | = | S | . |
V |
Отсюда
v1 | = | Vv2 | = 25 км/ч. |
3v2 − 2V | |||
Задача 8
Катер прошел первую половину пути со средней скоростью в n = 2 раза большей, чем вторую. Средняя скорость на всем пути составила V = 4 км/ч. Каковы скорости катера на первой и второй половинах пути?
Решение: катер проходит одинаковые отрезки пути с разной скоростью, следовательно, будет разным и затраченное время. Примем скорость на втором участке пути за v, тогда на первом участке скорость 2v. Средняя скорость на всем пути:
Vc | = | S | = | S | , |
t | t1 + t2 |
где
t1 | = | S | и | t2 | = | S | . | |
2·2v | 2v |
Подставляем в формулу средней скорости время:
Vc | = | S | = | 4vv | = | 4v | . |
S/(4v) + S/(2v) | 3v | 3 |
v | = | 3Vc | . |
4 |
Из последней формулы выразим скорость второго участка пути:
Подставляя значение средней скорости на всем пути в последнюю формулу, имеем v = 3 км/ч, тогда скорость на первом участке пути в v = 2 раза больше, чем на втором, и равна 6 км/ч.
Задача 9.
Теплоход плывет по реке из точки А в точку Б в течение 3 часов, а обратно — в течение 5 часов. Собственная скорость теплохода одинакова в обоих случаях. За какое время из точки А в точку Б доплывет плот?
Решение: Обозначим скорость теплохода как vт, а скорость реки как vр. Время движения теплохода по течению равно:
t1 = | S | . |
vт + vр |
t2 = | S | . |
vт − vр |
Время движения теплохода против течения:
Выражаем S из обоих уравнений и приравниваем правые части:
t1(vт + vр) = t2(vт − vр). |
Получаем: vт = 4vр. По сути получается, что теплоход без течения преодолеет это расстояние за 4 часа, по течению — за 3 часа и против — за 5 часов.
Скорость теплохода, плывущего против течения относительно берега равна 3-м скоростям течения.
Ответ: плот проплывет данное растояние за 15 часов.
Задача 10
Катер, двигаясь вниз по течению, затратил время в n = 3 раза меньше, чем на обратный путь. Определить, с какими скоростями относительно берега двигался катер, если средняя скорость на всем пути составила V = 3 км/ч.
Решение: двигаясь вниз по течению, катер затратил время в n = 3 раза меньше, т. к. его скорость относительно берега равна сумме его скорости относительно воды (собственная скорость) и скорости течения v1=vk+vT. Путь, проходимый катером, одинаков туда и обратно, обозначим его через S. Время, затраченное им при движении по течению вниз:
t1 | = | S | . |
vk + vT |
Обратно катер плывет против течения и его скорость относительно берега будет равна разности собственной скорости и скорости течения v2=vk−vT. Тогда затраченное время при движении катера против течения равно:
t2 | = | S | . |
vk − vT |
По условию задачи время движения катера против течения в три раза больше времени движения катера по течению:
t2 | = | S(vk + vT) | = | vk + vT | и | vk + vT | = 3. | |
t1 | S(vk − vT) | vk − vT | vk − vT |
Упрощая эти уравнения, находим, что vk=2vT (формула 1).
Теперь найдем среднюю скорость при движении катера на всем пути:
V = | S | = | 2S | = | 2S | . |
t | t1 + t2 | S/(vk + vT) + S/(vk − vT) |
V = | 2 | = | 3 | VT, |
1/(3vk) + 1/vT | 2 |
Здесь учтем (1), тогда
отсюда находим скорость течения: vT = (2/3)V, а vk = (4/3)V.
После вычислений окончательно имеем: vT = (2/3)3 = 2 км/ч и vk = (4/3)3 = 4 км/ч.
Задача 11
Пассажир едет в поезде, скорость которого 80 км/ч. Навстречу этому поезду движется товарный поезд длиной 1 км со скоростью 40 км/ч. Сколько времени товарный поезд будет двигаться мимо пассажира?
Решение:
1-й способ. Cистему отсчета свяжем с Землей. Наблюдатель находится в точке O с координатой x = 0. Координата хвоста товарного поезда xT = 1 км. Уравнение движения обоих тел имеет вид: x1 = v1t и x2 = xT − v2t. В момент встречи хвоста поезда с пассажиром x1 = x2 или v1t = xT − v2t, отсюда время встречи равно
t = | xT | . |
v1 + v2 |
2-й способ. Свяжем систему координат с товарным поездом, тогда скорость пассажира в поезде, по отношению к неподвижной системе координат (товарный поезд), равна vo=v1+v2. Так как длина поезда l=1 км, то пассажир проедет мимо него, следовательно, и будет наблюдать в течение времени
t = | l | . |
v1 + v2 |
После подстановки t = 30 c.
Задача 12
На рисунке представлены графики зависимости координаты двух тел от времени. Графики каких зависимостей показаны? Какой вид имеют графики зависимости скорости и пути, пройденного телом, от времени?
Решение
На рисунке показаны графики равномерного движения тел.
1) В начальный момент времени t = 0 первое тело имеет начальную координату хо1 = 1 м, второе тело — координату хо2 = 0.
2) Оба тела движутся в направлении оси Х, так как координата возрастает с течением времени.
3) Уравнение движения для равномерного прямолинейного движения имеет вид: x=xо+vхt.
Тогда для первого, второго тела соответственно:
x1=xо1+v1хt и x2=xо2+v2хt
или x1=1+v1хt, x2=v2хt.
Определим скорости первого и второго тела:
v1x | = | x1 − 1 | = | 2 − 1 | = 0,5 м/с. |
t | 2 |
v2x | = | x2 | = | 1 | = 0,5 м/с. |
t | 2 |
Уравнения скорости имеют вид: v1х=v2х=0,5 м/с.
Так как S=vхt, то уравнение пути S=0,5t.
Задача 13
Графики каких движений показаны на рисунке? Как отличаются скорости движения этих тел? В какой момент времени тела встретились? Какие пути тела прошли до встречи?
Решение
Так как изменение координаты тела происходит прямо пропорционально времени, то можно утверждать, что движение равномерное и прямолинейное. По отношению к точке отсчета (0; 0) у первого тела координата убывает, а у второго наоборот — возрастает. Первое тело движется против оси х, второе — по направлению оси координат.
а) Чтобы ответить на вопрос об отличии скоростей, определим их из уравнения координаты:
vx | = | x − xo | , тогда |
t |
v1x | = | 3 − 6 | м/с = −0.75 м/с. |
4 |
v2x | = | 3 − 0 | м/с = 0.75 м/с. |
4 |
Скорости тел равны по абсолютному значению, но противоположны по направлению.
б) Зная также, что v=tg б (геометрический смысл скорости) и сравнивая углы наклонов графиков движения тел к оси t, приходим к выводу, что углы одинаковы, следовательно, скорости равны.
в) Точка пересечения двух прямых означает, что тела встретились в одно и то же время в одной и той же точке, т. е. время встречи t = 4 c, а координата x = 3 м.
г) Так как движение равномерное и прямолинейное, то S = x − xo. Находим пути, пройденные телами до встречи:
S1= | x1 − xo1 | = | (3−6) м | = 3 м,
S2= | x2 − xo2 | = | (3−0) м | = 3 м.
Оба тела, двигаясь с одинаковыми скоростями, за одно и тоже время прошли равное расстояние.
