Программа государственного экзамена

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Самарский государственный технический университет»

(ФГБОУ ВО «СамГТУ»)

  УТВЕРЖДАЮ

  Проректор по учебной работе

________________________

«  » ____________________ 20_____г.

ПРОГРАММА

ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА

по направлению _____01.04.02____Прикладная математика и информатика__

  (шифр и наименование)

Утверждена на заседании кафедры Прикладная математика и информатика Протокол № _6_ от «24»_января_ 20_17_г. Заведующий кафедрой _______________

Утверждена Ученым советом факультета Инженерно-экономического_________ Протокол № _6_ от « 26 »_января 20_17г. Председатель Ученого совета _______________ Секретарь Ученого совета ________________

Самара, 2017 г.

I. Современные проблемы вычислительной и линейной алгебры

Нормированные пространства. Векторные нормы. Эквивалентность векторных норм. Матричные нормы. Основные типы норм в арифметических пространствах. Согласованные матричные нормы. Операторные матричные нормы. Примеры матричных норм. Теория возмущений и числа обусловленности вычислительных задач. Вычисление чисел обусловленности матриц и систем линейных алгебраических уравнений для основных типов матричных норм. Арифметика чисел с плавающей точкой. Погрешности в арифметике с плавающей точкой. Прямые методы решения СЛАУ. LU-разложение. Выбор ведущего элемента. Теория возмущений СЛАУ. Связь относительной погрешности решения СЛАУ с относительными погрешностями в исходных данных. Число обусловленности матрицы для различных матричных норм. Спектральное число обусловленности. Прямая и обратная подстановка для треугольных систем. Различные типы упорядочивания тройного цикла в методе исключения Гаусса. Метод Холесского для  решения СЛАУ с симметричной квадратной матрицей. Решение СЛАУ с трехдиагональной матрицей методом прогонки. Вычислительная сложность LU-метода. Ортогональные методы решения СЛАУ (QR-методы). Численная устойчивость QR-метода. Решение СЛАУ произвольной размерности Нормальное решение, СЛАУ. Певдорешение СЛАУ. Нормальное псевдорешение СЛАУ. Вычисление псевдообраьных матриц методом Гревиля и Вычисление псевдообраьных матриц итерационным методом Бен-Израэля. Сингулярное разложение матриц и его применение к решению произвольных линейных алгебраических систем. Задача наименьших квадратов. Ортогональные матрицы. Решение произвольных СЛАУ методом нормальных уравнений. Вычисление QR разложения матрицы методом Грамма – Шмидта, с помощью преобразований Хаусхолдера, Вычисление QR разложения матрицы методом вращений Гивенса. Решение СЛАУ с помощью QR разложения. Вычисление спектрального числа обусловленности матрицы с помощью сингулярного разложения. Связь спектрального и сингулярного разложения для симметричной матрицы. Решение СЛАУ с матрицей произвольного ранга с помощью сингулярного разложения. Численная устойчивость алгоритмов сингулярного разложения. Линейные задачи наименьших квадратов. Метод нормальных уравнений, QR-метод, метод расширенных нормальных систем уравнений. Итерационные методы решения линейных задач наименьших квадратов. Метод Якоби и Гаусса-Зейделя для нормальных систем уравнений. Скорость сходимости. Итерационные алгоритмы регуляризации плохо обусловленных и некорректных задач. Неявный метод простой итерации на основе решения расширенных линейных систем со стреловидными матрицами. Плохо обусловленные СЛАУ. Специальные методы решения плохо обусловленных СЛАУ. Необходимость в априорной информации об ошибке для плохо обусловленных задач. Метод регуляризации Тихонова. Задача оптимального выбора параметра регуляризации. Выбор параметра регуляризации методом невязки и перекрестной значимости. Спектральное число обусловленности матрицы метода расширенных нормальных уравнений. Решение задачи регуляризации Тихонова с помощью расширенных нормальных уравнений.

II. Непрерывные и дискретные математические модели

1. Место моделирования среди методов познания. Классификация моделей.

2. Этапы построения математической модели.

3. Концептуальная и математическая постановка задачи моделирования

4. Реализация математической модели средствами непрерывной или дискретной математики

5. Математический аппарат для исследования одномерных математических моделей линейных систем с сосредоточенными параметрами:

6. Методы исследования и анализа одномерных математических моделей с сосредоточенными параметрами.

7. Методы численного решения одномерных математических моделей с сосредоточенными параметрами

8. Краевые задачи теории одномерных математических моделей

9. Математический аппарат для исследования многомерных математических моделей линейных систем с сосредоточенными параметрами

10. Анализ многомерных математических моделей с сосредоточенными параметрами.

11. Методы численного решения многомерных математических моделей с сосредоточенными параметрами

12. Анализ математических моделей линейных систем с распределенными параметрами.

13.Методы исследования нелинейных математических моделей

14.Математические модели некоторых диссипативных систем.

15.Приближенные методы анализа динамических моделей.

16.Задачи конечномерной оптимизации.  Задачи линейного и нелинейного программирования.

17.Математическая модель классической механики

18. Математическая модель абсолютно твердого тела.

19. Математическая модель непрерывной среды.

20.Математическая модель классической гидродинамики:

21. Математические модели механических систем с линейным, вязким и турбулентным трением.

22. Построение и описание простейших структурных моделей в различных сферах деятельности.

23. Статический анализ конструкций. Дискретизация непрерывной конструкции на элементы.

24. Построение математической модели небесной механики.

25. Построение структурных математических моделей вязко-упруго-пластических тел.

26. Формулировка задачи колебания массы  с элементами сухого трения и без него.

27.Моделирование в условиях неопределенности

28.Моделирование Марковских случайных процессов.

29.Моделирование с использованием имитационного подхода

30. Моделирование дислокаций в металле при помощи клеточных автоматов.

III. Современные компьютерные технологии

Общая структура документа в пакете LaTeX. Компиляция документа и просмотр результата. Задание атрибутов текста, форматирование текста. Набор специальных символов. Набор формул в математическом режиме. Строчные и выключные формулы. Окружения array, equation Типы документов. Нумерация составных частей документа. Сбор содержания. Оформление титульного листа. Оформление библиографического списка и ссылок на него. Создание пользовательских команд. Изменение стандартных элементов оформления. Колонтитулы и сноски. Создание предметного указателя. Назначение и особенности пакета математических вычислений MatLab. Работа с MatLab в режиме диалога. Матричные и векторные операции. Задание матриц и векторов специального вида. Применение оператора : (двоеточие). Табулирование функций и построение их графиков. Разрежённые матрицы. Операции с разрежёнными матрицами. Численное решение систем линейных уравнений с обычной и разрежённой матрицей коэффициентов. Основы встроенного языка программирования в MatLab. Оператор присваивания. Операторы ветвления и цикла в MatLab. Создание пользовательских функций в MatLab. Создание программ с графическим интерфейсом в MatLab. Метод конечных разностей. Решение одномерной задачи теплопроводности с граничными условиями первого рода в MatLab. Метод конечных разностей. Решение одномерной задачи теплопроводности с граничными условиями второго рода в MatLab. Метод конечных разностей. Решение одномерной задачи теплопроводности с граничными условиями третьего рода в MatLab. Метод конечных разностей. Решение двумерной задачи теплопроводности со смешанными граничными условиями в MatLab. Метод конечных разностей. Решение задачи определения плоско-напряжённо и плоско-деформированного состояния деталей простой формы в MatLab. Назначение программного комплекса ANSYS. Построение плоских и пространственных моделей в ANSYS. Типы конечных элементов в ANSYS. Разбиение двумерной области на конечные элементы в ANSYS. Задание начальных и граничных условий в ANSYS. Методика расчёта температурных полей в деталях сложной формы в ANSYS. Методика расчёта упругого напряжённо-деформированного состояния деталей сложной формы в ANSYS. Учёт концентрации напряжений в ANSYS. Методика расчёта упруго-пластического напряжённо-деформированного состояния деталей сложной формы в ANSYS. Методика расчёта температурных упруго-пластических напряжений в деталях сложной формы в ANSYS.

IV. Математические модели в логистике

Факторы, определившие  развитие логистики как экономической науки. Основные объекты изучения логистики. Логистический подход к проблемам управления потоковыми процессами, Понятие логистической системы. Виды логистических систем. Материальный поток, его измерение. Классификация материальных потоков. Научная база логистики и методология. Количественная и качественная гибкость производственных систем. Постановка задачи многокритериальной оптимизации. Методы решения. Методы определения экспертных оценок. Методы сетевого планирования и управления. Сетевые графики.  Основные понятия и определения. Расчет временных параметров сетевого графика и нахождение критического пути. Распределение ограниченных ресурсов при построении сетевого графика. Определение оптимального количества складов в зоне обслуживания. Основные параметры грузопотоков склада. Вероятностно-статистический метод определения ёмкости склада. Определение вместимости контейнерного терминала с использованием модели «гибели и рождения». Логистические центры. Состав типичного регионального центра. Сущность и задачи транспортной логистики. Потоки на сетях.  Постановка задачи о максимальном потоке. Разрез на сети. Теорема Форда-Фалкерсона. Алгоритм решения задачи о максимальном потоке. Приложение алгоритма о максимальном потоке к решению транспортной задачи по критерию времени. Задача нахождения кратчайшего пути. Решение задачи методом Форда-Фалкерсона. Нахождение общей медианы графа. Расчёт надёжности сетей. Информационный логистический поток. Информационные логистические системы, их классификация. Принципы построения информационных систем в логистике.

V. Модели и алгоритмы защиты информации

Операция деления, деление с остатком. Наибольший общий делитель, его свойства. Алгоритм Евклида. Двоичный алгоритм Евклида. Простые числа. Основная теорема арифметики. Вычеты по модулю целых чисел. Китайская теорема об остатках. Алгоритм Гарнера. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма. Первообразные корни. Теорема о существовании первообразного корня по модулю простого числа. Определение элементарных операций над многочленами. Алгоритмы умножения многочленов. Операция деления с остатком для многочленов. Алгоритм Евклида для многочленов. Основная теорема арифметики для многочленов. Теорема о числе корней многочленов. Определение символа Якоби, его свойства. Вероятностный алгоритм вычисления корней многочлена. Построение таблицы простых чисел. Вероятностные алгоритмы проверки на простоту. Определение непрерывной дроби. Понятие подходящей дроби. Теорема о наилучшем приближении. Основные понятия криптографии. Криптоанализ и типы атак. Шифры подстановки. Криптоанализ шифров подстановок. Шифры перестановок. Криптоанализ шифров перестановки. Шифры потока и блочные шифры. Полноразмерные ключевые шифры. Шифры ключа частичного размера.  Шифры без ключа. Шифры Файстеля. Шифры не-Файстеля. Общие положения шифра DES. Структура и алгоритмы DES. Анализ шифра DES. Общие положения шифра AES. Преобразования в шифре AES. Алгоритмы шифра и обратного шифра AES. Анализ шифра AES.

VI. Теория формальных языков и компиляций

Формальные языки: основные определения, операции над языками Гомоморфизмы Порождающие грамматики Классификация грамматик Распознаватели языка Недетерминированные конечные автоматы Конечные автоматы с однобуквенными переходами Свойства праволинейных языков. Нормальная форма праволинейных грамматик Детерминированные конечные автоматы. Преобразование конечного автомата к детерминированному виду Свойства автоматных языков: свойства замкнутости класса автоматных языков; пересечение и дополнение автоматных языков Свойства автоматных языков: лемма о разрастании для автоматных языков; примеры неавтоматных языков; гомоморфизмы и автоматные языки Определение регулярного выражения. Свойства регулярных выражений Теорема Клини Множества правых контекстов Минимизация детерминированных конечных автоматов Деревья вывода. Однозначные контекстно-свободные грамматики Языки Дика и Лукасевича Устранение бесполезных символов. Устранение е-правил Нормальная форма Хомского. Автоматы с магазинной памятью. Детерминированные автоматы с магазинной памятью Синтаксический разбор: нисходящий разбор; восходящий разбор Машины Тьюринга. Разрешимые и перечислимые языки Массовые задачи. Проблема соответствий Поста Алгоритмически разрешимые проблемы Алгоритмически неразрешимые проблемы

VII. Высокоточные численные методы решения обыкновенных ДУ

Дискретные методы. Методы разложения в ряд Тейлора. Методы Рунге-Кутты. Линейные многошаговые методы. Численные решения дифференциальных уравнений методами Адамса-Бэшфорта и Адамса-Мултона. Источники погрешностей. Полная погрешность дискретизации. Локальная погрешность дискретизации. Сходимость и устойчивость. Согласованность. Области абсолютной устойчивости. Относительная устойчивость. Порядок нуль - устойчивых многошаговых методов. Области абсолютной и относительной устойчивости. Оценка погрешностей численных методов для задачи Коши. Дифференциальная задача. Разностные аппроксимации. Локальная погрешность дискретизации. Оценка локальной погрешности одношаговых методов. Сравнение оценок погрешностей для одношаговых методов. Общие вопросы реализации алгоритмов. Структура программы интегрирования. Список параметров программы интегрирования. Ошибки округления. Методы Рунге Кутты. Вывод конкретных методов. Методы с оценкой погрешности. Оптимальный выбор шага и порядка. Линейные многошаговые методы. Пошаговые алгоритмы. Изменение шага. Изменение порядка. Оценка погрешности. Методы Адамса для уравнений более высокого порядка. Переменный порядок. Начало интегрирования. Программы с переменным шагом и переменным порядком. Методы экстраполяции. Экстраполяция Ричардсона. Рациональная экстраполяция. Метод Грэга – Буллирша – Штера. Введение в теорию жестких задач. Жесткая задача Коши. Устойчивость для жестких задач. Применение неявных методов для решения жестких задач. Способы выбора шага. Неявные методы Рунге – Кутты и родственные им методы. Многошаговые методы для жестких задач. Неявные линейные многошаговые методы. Обобщенные многошаговые методы. Методы экстраполяции для жестких систем.

VIII. Современные методы параметрической идентификации на основе разностных уравнений

Постановка и классификация задач идентификации и оценивания. Идентификация линейных детерминированных объектов. Уравнения связи между входными и выходными сигналами. Переходные функции. Частотные характеристики. Непараметрическая идентификация линейных стохастических систем. Уравнение Винера-Хопфа. Методы параметрической идентификации стохастических систем. Метод наименьших квадратов. Линеаризация математической модели. Методы параметрической идентификации стохастических систем. Обобщенный метод наименьших квадратов. Методы параметрической идентификации стохастических систем. Метод трансформации переменных. Методы параметрической идентификации стохастических систем. Метод преобразования модели. Рекуррентный метод наименьших квадратов. Анализ и прогнозирование временных рядов. Метод максимального правдоподобия. Модели стационарных временных рядов в форме разностных уравнений. Авторегрессионные модели. Модели стационарных временных рядов. Модели скользящего среднего. Модели стационарных временных рядов. Модели авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего. Строго стационарные и слабо стационарные временные ряды. Автокорреляционная функция. Вычисление выборочных оценок коэффициента автокорреляции, коэффициента частной автокорреляции. Модель авторегрессии первого порядка. Основные свойства Марковского процесса. Стационарные и нестационарные ряды для модели АР(1). Модель авторегрессии второго порядка. Система Юла-Уокера. Условие стационарности  процесса АР(2). Модели скользящего среднего. Стационарность и обратимость процесса СС(q).  Автокорреляционная функция и частная автокорреляционная функция для модели СС(1). Численные методы среднеквадратичного нелинейного оценивания. Методы минимизации функций многих переменных: метод покоординатного спуска, градиентный метод, метод сопряженных градиентов. Нелинейное оценивание. Метод Ньютона-Гаусса и его модификации. Нелинейная регрессия. Метод Левенберга-Маркуардта. Статистические свойства оценок МНК в нелинейной регрессии. Нелинейное оценивание. Сведение нелинейной регрессии к линейной Математические основы и методы построения разностных уравнений для задач нелинейного оценивания. Построение разностных уравнений для дробно-рациональных функциональных зависимостей. Построение разностных уравнений для решений линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Построение разностных уравнений для логистических зависимостей. Функция Рамсея. Построение разностных уравнений для логистических зависимостей. Функции Верхулста. Построение разностных уравнений для логистических зависимостей. Функции Гомперца. Построение разностных уравнений для функциональных зависимостей, содержащих гармоническую мультипликативную компоненту. Численный метод нелинейного оценивания на основе разностных уравнений. Построение обобщенной регрессионной модели на основе разностных уравнений. Итерационная процедура уточнения среднеквадратичных оценок коэффициентов обобщенной регрессионной модели. Оценка погрешности вычисления параметров нелинейных математических моделей на основе разностных уравнений.

Список рекомендуемой литературы

Гантмахер матриц [Электронный ресурс]: учебное пособие/ — Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.— 560 c.— Режим доступа: http://www. iprbookshop. ru/12877.— ЭБС «IPRbooks». Срочко, методы: курс лекций: учеб. пособие / . - М. ; СПб. ; Краснодар : Лань, 2010. - 202 с. Тыртышников анализ и линейная алгебра [Электронный ресурс]: учебное пособие/ — Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.— 480 c.— Режим доступа: http://www. iprbookshop. ru/12925.— ЭБС «IPRbooks». Свешников методы теории случайных функций. Спб: Лань,2011. 464 с. ,Еремин деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций. М.: Машиностроение-1, 2004. 264 с. ,Синицын стохастических систем. М: Логос, 2004. 1000с. Инженерный анализ в ANSYS WORKBENCH: учеб. пособие / Бруяка, В. А.; Фокин, В. Г.; Солдусова, Е. А.; Глазунова, Н. А.; Адеянов, И. Е.; Самар. гос. техн. ун-т. ‑ Самара : Ч.1. – 2010. – 270 с. Горелов, деталей машин с использованием программного комплекса ANSYS: учеб.-метод. пособие / , ; Самар. гос. техн. ун-т. - Самара : [б. и.], 2011. - 69 с. Введение в программный комплекс ANSYS [Электронный ресурс] : учеб.-метод. пособие / ; Самар. гос. техн. ун-т, – Самара : 2010. Лубенцова, моделирование прикладных задач логистики: учебное пособие.- Самара: СамГТУ, 2012. 199с. Практикум по логистике:учеб. пособие / под редакцией -2е изд. –М.: ИНФРА-М, 2011. 275с. Мастяева модели [Электронный ресурс]: учебное пособие/ , — Электрон. текстовые данные.— М.: Евразийский открытый институт, 2011. 192 c. Костюкова алгоритмы для программистов [Электронный ресурс] / — Электрон. текстовые данные. — М.: Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ) 2016. — 216 с. Алексеев и алгоритмы. Структуры данных. Модели вычислений [Электронный ресурс] / , — Электрон. текстовые данные. — М.: Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ) 2016. — 153 с. Шаньгин безопасность и защита информации [Электронный ресурс]/ — Электрон. текстовые данные.— М.: ДМК Пресс, 2014.— 702 c. Бескид методы защиты информации. Часть 1. Основы криптографии [Электронный ресурс]: учебное пособие/ , — Электрон. текстовые данные.— СПб.: Российский государственный гидрометеорологический университет, 2010.— 95 c. Бескид методы защиты информации. Часть 2. Алгоритмы, методы и средства обеспечения конфиденциальности, подлинности и целостности информации [Электронный ресурс]: учебное пособие/ , — Электрон. текстовые данные.— СПб.: Российский государственный гидрометеорологический университет, 2010.— 104 c. Пентус теория формальных языков [Электронный ресурс]/ , — Электрон. текстовые данные.— М.: Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), 2015.— 218 c. Серебряков и реализация языков программирования [Электронный ресурс]/ — Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012.— 236 c. Залогова Паскаль-компилятора [Электронный ресурс]/ — Электрон. текстовые данные.— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014.— 184 c. Бахвалов методы в задачах и упражнениях [Электронный ресурс]: учебное пособие/ , , — Электрон. текстовые данные.— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013.— 240 c. Плохотников, методы [Текст] : теория и практика в среде MATLAB:Курс лекций:Учеб. пособие / . - М. : Горячая линия-Телеком, 2009. - 496 с. Срочко, методы [Текст] : курс лекций: учеб. пособие / . - М. ; СПб. ; Краснодар : Лань, 2010. - 202 с. Заусаев методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Самара: РИО Самарск. гос. тех. ун-та: – 2010. – 100 с. Зотеев, методы интегрирования и решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений [Электронный ресурс] : лаб. практикум / ; Самар. гос. техн. ун-т, Прикладная математика и информатика. - Электрон. дан. - Самара : [б. и.], 2013. - 115 с. Романко разностных уравнений [Электронный ресурс]/ — Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012.— 200 c. Зотеев идентификация диссипативных механических систем на основе разностных уравнений / Под ред. . – М.: Машиностроение, 2009. –344 с. Романко уравнения [Электронный ресурс]: учебное пособие/ — Электрон. текстовые данные.— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.— 112 c. Миллер случайных процессов в примерах и задачах / , — Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.— 318 c. Семаков теории вероятностей и случайных процессов. учебное пособие/ — Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011.  232 c.

Программа составлена: