Министерство образования и науки Российской Федерации

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМЕНИ ЛОБАЧЕВСКОГО

КАФЕДРА ТЕОРИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Специальность: 010800.62 - Механика и математическое моделирование

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

(Бакалаврская работа)

Нелинейная задача устойчивости цилиндрической оболочки при внешнем статическом давлении

Работа завершена:

"___"________2015 г. _________________________________()

Работа допущена к защите:

Научный руководитель

доцент, к. ф.- м. наук, доцент

"___"___________2015 г. ______________________________()

Заведующий кафедрой

д. ф-м. н.

"___"___________2015 г. _____________________________()

Казань — 2015

Содержание

  Введение.

1. Основные соотношения теории пологих оболочек.

2. Нелинейная задача устойчивости цилиндрической оболочки при внешнем статическом давлении:

2.1)Решение задачи с учетом периодичности, в одночленном приближении.

2.2)Решение задачи в двучленном приближении без учета периодичности при.

2.3)Решение задачи в двучленном приближении c учетом условия периодичности. Сравнительная таблица.

3.Выводы.

4.Список использованной литературы.

5.Приложение.

Введение

На данный момент мы не можем достоверно гарантировать устойчивость и прочность инженерных, строительных и иных технологических сооружений (такие как рынки, склады и т. д.) практически во всех отраслях народного хозяйства. Эта проблема настолько явная (очевидная), что в ее актуальности нет сомнений. Колоссальное  количество ужасных случаев, связанных с разрушением различного типа сооружений, произошедших во многих странах мира в недавнее время, лишь подтверждают тот прецедент (факт), что их причины деструкции (разрушения) плохо (недостаточно) изучены и систематизированы. Моментальная деструкция оболочечных перекрытий таких конструкций вызвана, как правило, потерей устойчивости начальной формы из-за воздействия внешних сил самого разного типа.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

На данный период существует очень много гипотез, исследующих оболочки. Впрочем, «львиная доля» из них, при конкретных условиях, является несостоятельной. Эта несостоятельность подходов в механике оболочек выявляется в несоответствии теории и экспериментально полученным данным. Например: если изучать тонкостенную изотропную оболочку, взяв  отношение  h/R (где h – толщина оболочки, а R – радиус срединной поверх-ти), то критическое давление pk, описываемое теорией, многократно (в 4–10 раз) превосходит значения, полученные в результате эксперимента.

На рис.1 мы можем наблюдать, что значения критической нагрузки, обусловленные (зависящие) геометрическими параметрами оболочки, которые получили путём эксперимента, лежат между значениями нагрузки, полученными в результате  решения  линейной и нелинейной задачи устойчивости.

Рис.1

Данная проблема существует уже долгое время, однако с его течением ее актуальность лишь растёт и растёт из-за того, что постоянно появляются новые высокопрочные конструкционные материалы.

Одной из многих причин данной проблемы является то, что формы оболочек неидеальны (несовершенны). 

В данной работе предлагается вашему вниманию несколько вариантов аппроксимации (приближений) прогиба, которые помогут привести в соответствие теоретические критерии с экспериментальными данными. Далее эти критерии будут рассмотрены на примере круговой цилиндрической оболочки (далее ЦО) при условии внешнего всестороннего давления.

Стоит заметить, что эта задача имеет огромное практическое значение, так как ЦО обширно используются в промышленности. Задачами устойчивости занимались такие известные механики, как , , .

1.Основные соотношения теории пологих оболочек

Рис.2

       Здесь R - радиус кривизны срединной поверх-ти; y и x  коорд-ты, устанавливающие расположение любой точки срединной поверх-ти, откладываемые  по дуге и вдоль образующей. Перемещения по нормали и вдоль этих линий  обозначим через u, v и w; Если прогибы будут направлены к центру кривизны, то будем считать их положительными.

Определяем кинематические соотношения:

выражения для деформаций срединной поверх-ти:

изменения кривизны (которые получат в некоторой точке срединной поверх-ти коорд-ые линии x и  y): 

«кривизна» кручения поверх-ти:

Ур-е совместности деформаций:

Можно записать таким образом: 

  (1.1)

Где: 

Таким образом, ур-е равновесия элемента оболочки и ур-е неразрывности деформаций запишутся в виде:

  (1.2)

  (1.3)

Полагая, что  и , получим окончательные ур-я.

Ур-я равновесия для  ЦО:

(1.4)

Ур-е неразрывности деформаций:

  (1.5) 

здесь  w - полный прогиб,  ф – ф-ия напряжения.

Далее определяем полную энергию системы:

  .  (1.6)

Энергия растяжения срединной поверх-ти:

  (1.7)

  Энергия изгиба:

  (1.8)

Работа внешней нагрузки:

  (1.9)

2. Нелинейная задача устойчивости цилиндрической оболочки при внешнем статическом давлении

2.1.Решение задачи с учетом периодичности, в одночленном приближении

В данной главе мы рассмотрим решение задачи устойчивости ЦО при внешнем статическом давлении q. При решении задачи воспользуемся методом Ритца.

Для этого выберем выражение для прогиба  в виде:

  (2.1.1)

здесь 

Первое слагаемое ур-я (2.1.1) - перемещение 1-го порядка, решение линеаризованной задачи, удовлетворяющей граничным условиям шарнирного опирания

       Второе слагаемое аппроксимирующей ф-ии - перемещение 2-го порядка. Оно отражает перемещение точек внутрь оболочки.

Теперь для того, чтобы найти ф-ию напряжений «ф», ф-ию прогиба  подставим в ур-е неразрывности деформаций (1.5)

После интегрирования, получим:

  (2.1.2.)

здесь r принимает вид:

       Исходя из выражения (2.1.2), можно найти через параметры   напряжения и деформации в срединной поверх-ти конкретной оболочки, а затем, следовательно, и перемещения u, v.

Перемещения должны быть периодическими ф-ми корд-ты y. Перемещение v не должно получать приращения при возрастании корд-ты y на. Таким образом запишем:

  (2.1.3)

       В данный интеграл подставим значения ф-ий ф, w. Затем проинтегрируем получившиеся выражения. В результате, приходим к следующему соотношению:

  (2.1.4)

Учитывая, что  , (2.1.4) перепишется в виде:

Далее, учитывая безразмерный параметр прогиба получим

здесь

       Работа внешней нагрузки и полная  энергия  системы приведены в главе №  1 выпускной квалификационной работы.

Учитывая выражения для ф(x, y) и w(x, y), получим:

  (2.1.5)

  (2.1.6)

примем

Введем безразмерный параметр энергии и безразмерный параметр внешнего давления

       Безразмерная работа имеет вид:

В данном выражении параметр связывает число волн по окружности  n  с относительной толщиной оболочки .

Выражение безразмерной энергии изгиба:

Выражение безразмерной энергии растяжения:

       Таким образом,   примет  вид:

  (2.1.7)

отсюда выражаются следующим образом:

Затем используем метод Ритца,  т. е. , и в итоге получаем:

  (2.1.8)

Из чего следует  ур-е  для определения критической нагрузки:

  (2.1.9)

При   из получившегося ур-я (2.1.8) имеем решение линейной задачи, совпадающее с классическим выражением:

       Для нахождения нижней критической нагрузки, минимизируем  из ур-я (2.1.8) по :

       Решение этого ур-я - 3 корня:

-соответствует решению линеаризованной задачи.

Поскольку отношение коэффициентов , то корни будут действительными.

Выбираем положительный корень и подставляем его в ур-е (2.1.9) .

  (2.1.10)

После чего, решая ур-е  , находим волновое число , подставляя его в выражение , находим численное значение критического прогиба.

Полученные результаты представлены в конце главы № 2, таблица 1.

В этой таблице показаны зависимости  волнового  числа и прогиба от геометрических параметров.

2.2.Решение задачи в двучленном приближении без учета периодичности при

Выберем выражение для прогиба  в виде (2.1).

Безмоментный прогиб представим в виде (2.2.1)

Это значит, что безмоментный прогиб на контуре не ограничен. Выражения для ф-ии ф(x, y) потенциальной энергии деформации срединной поверх-ти и потенциальной энергии изгиба остаются неизменными, т. е. как в главе № 1. (1.7), (1.8).

Работа внешнего давления: 

  (2.2.2)

Сохраняя раннее введенные обозначения и вводя также безразмерные параметры запишем выражение для полной энергии системы в виде:

  (2.2.3)

отсюда  -константы, которые запишутся следующим образом.

  (2.2.4)

Применим метод Ритца по двум переменным  и , т. е.

Получим следующее выражение:

(2.2.5)

Подставляя значение в выражение (2.2.5), получим зависимость от

  (2.2.6)

Здесь:

       Минимизируем  из (2.2.6) по 

  (2.2.7)

       Решив это ур-е, получим 2 корня:

  (2.2.8)

Выбираем корень, при котором выражение будет минимальным Подставляем этот корень в выражение для  из (2.2.6) и затем, решаем численно ур-е откуда и находим нижнее волновое число Вводя значение волнового числа в выражение  и, получим численное значение критического прогиба и нижней критической нагрузки

2.3.Решение задачи в двучленном приближении cучетом условия периодичности

В данном случае  выберем аппроксимирующее выражение для прогиба w(x, y, t) в виде (2.1.)

Обозначим  .  (2.3.1) 

       Интегрируя  ур-е неразрывности, имеем:

(2.3.2)

Из условия периодичности перемещения v, получим:

  (2.3.3)

Работу нормального давления будем вычислять по  формуле:

  (2.3.4)

После некоторых преобразований имеем:

  (2.3.5)

Найдем потенциальную энергию системы:

  (2.3.6)

После некоторых преобразований, полная потенциальная энергия системы будет выглядеть так:

  (2.3.7)

Где введены следующие обозначения:

Так как в решении используется метод Ритца, получим следующую систему ур-й:

  (2.3.8)

Теперь из 1-го ур-я (2.3.8) найдем безразмерную нагрузку , а из 2-го ур-я выразим прогиб

Подставляя, получим:

  (2.3.9)

Если добавим к (2.3.9) условие минимума нагрузки по, то придём к ур-ю 3-ей степени. Решая это ур-е, находим корни и подставляем их в наше ур-е (2.3.9). Также связывая волновые параметры с нагрузкой через условие минимума, найдем безразмерное значение критической нагрузки. Результаты представлены в сравнительной таблице 1

Табл. 1. (Сравнение нагрузки, волнового числа и прогиба, полученных в пункте 2)

R/h

L/R

150

300

450

2.1

2.2

2.3

2.1

2.2

2.3

2.1


2.2

2.3

1

q

0.373

0.274

0.32

0.2

0.16

0.17

0.99

0.68

0.35

6

6

7

7

7

8

8

9

9

2.1

2.12

2.11

2.4

2.35

2.38

2.73

2.69

2.71

2

q

0.183

0.15

0.18

0.784

0.41

0.5

0.68

0.52

0.6

4

5

5

5

6

6

6

6

7

3.39

3.37

3.36

3.04

3.02

3.01

3.61

3.59

3.59

3

q

0.426

0.42

0.43

0.252

0.26

0.25

0.54

0.43

0.53

4

4

5

4

5

5

5

5

6

3.36

3.38

3.38

3.58

3.7

3.71

4.61

4.65

4.66


2.1)Задача устойчивости ЦО при внешнем статическом давлении, в одночленном приближении, с учетом условия периодичности.

       2.2)Задача устойчивости ЦО при внешнем  статическом давлении, в двучленном приближении, без учета условия периодичности.

       2.3)Задача устойчивости ЦО при внешнем  статическом давлении, в двучленном  приближении, с учетом условия периодичности.

       

Выводы

Исходя из данных, приведенных в таблице, можно сделать следующие выводы:

1)При уменьшении толщины оболочки волновые числа увеличиваются, а значения верхней и нижней критической нагрузки убывают;

2)При росте относительной длины оболочки значения волновых чисел падают, аналогично численные значения верхней и нижней нагрузки - уменьшаются.

3)Различные виды аппроксимации дают значения прогиба и нагрузки, которые несущественно отличаются друг от друга. Наиболее точные значения, приближенные к экспериментальным данным, получаются с использованием аппроксимации в двучленном приближении без учета условия периодичности (столбец 1.3).

Список литературы

- , , “Устойчивость упругих пластин и оболочек при нестационарных воздействиях”, г.  Казань, КФУ, 1994 г., С.20-40

-   “Вопросы термодинамики и устойчивости оболочек”, издательство Московского Университета,  г. Москва, 1963 г., с. 270

- “Нелинейная теория пластин и оболочек ”, издательство Казанского Университета, г. Казань, 1962 г., с. 27.

- , ., “К постановке задачи устойчивости цилиндрической оболочки при внешнем давлении” материалы второй международной научно-практической конференции, г. Москва, 2013 г., С. 164-167.

-   “Устойчивость деформируемых систем”, издательство “Наука”, г. Москва, 1967 г., с.551.

- Справочник “Прочность. Устойчивость. Колебания”  под редакцией и , издательство “Машиностроение”, г. Москва, 1968 г., с.141.

-   “Гибкие пластины и оболочки”, государственное издательство технико-теоретической литературы,  г. Москва, 1956 г., с.335.

Эксперт — это человек, который совершил все возможные ошибки в очень узкой специальности. (Нильс Бор)

  Приложение

Решение нелинейной задачи в статической постановке.

       Нахождение волнового числа n:

L=R*1; R=150*h; h=1;

ny=0.3;

teta=(3.14*R)/(n*L);

int=((n^2)*h)/R;

С1=((((1+(teta^2))*int)^2)/(48*(1-(ny^2))))+(teta/(4*((1+(teta^2))^2)));

C2=(((teta^4)*(int^4))/(96*(1-(ny^2))))+((((1+(teta^2))*int)^2)/128)-((1/164)*(1+((8*(teta^4))/(((1+(teta^2))^2))))*(int^2))+((int^2)/128);

C3=((int^4)/64)*(((teta^4)/((1+(teta^2))^2))+(((teta^4)/(1+9*(teta^2))^2)));

C4=int/4;

q=(1/C4)*(C1-((C2^2)/(3*C3)));

D[(1/C4)*(C1-((C2^2)/(3*C3))),n]

Reduce[D[(1/C4)*(C1-((C2^2)/(3*C3)))0,n],n]

       Нахождение критической нагрузки q:

L=R*1; R=150*h; h=1;

ny=0.3;n=6;

teta=(3.14*R)/(n*L);

int=((n^2)*h)/R;

С1=((((1+(teta^2))*int)^2)/(48*(1-(ny^2))))+(teta/(4*((1+(teta^2))^2)));

C2=(((teta^4)*(int^4))/(96*(1-(ny^2))))+((((1+(teta^2))*int)^2)/128)-((1/164)*(1+((8*(teta^4))/(((1+(teta^2))^2))))*(int^2))+((int^2)/128);

C3=((int^4)/64)*(((teta^4)/((1+(teta^2))^2))+(((teta^4)/(1+9*(teta^2))^2)));

C4=int/4;

q=(1/C4)*(C1-((C2^2)/(3*C3)))

Нахождение.

ny=0.3;L=R*1;R=150*h;h=1;

n=7;

m=1;

teta=(m*3.14*R)/(n*L);ty=(h*(n^2))/R;

A1=ty/4;A2=-2;A3=(((ty^2)*(((1+teta^2))^2))/(48*(1-(ny^2))))+((teta^4)/(4*((1+(teta^2))^2)));

A4=(1/8)+((ty^2)*(teta^4)/(6*(1-(ty^2))));A5=(ty^2)*((1+(teta^4))/128);

A6=-((ty/16)*(1+(8*(teta^4))/(4*((1+(teta^2))^2))));

A7=(((ty^2)*(teta^4))/4)*(1/((1+(teta^2))^2)+1/((1+9*(teta^2))^2));

B1=(-2*A1*A6/A5);B2=(2*A3*A6/A5);B3=(-4*A7*A1/A5);B4=((4*A3*A7/A5)+(2*A6^2/A5)-(8*A4));B5=(-2*A6*A7/A5);B6=(4*A7^2/A5);

u=(-2*B1-ksi*B3);

ksi=2.11;

q=(2*B2/u)+(ksi*B4/u)+(2*B5*(ksi^2)/(3*u))+(B6*(ksi^3)/(2*u))

  Нахождение безразмерной нагрузки q

ny = 0.3; L = R*1; R = 150*h; h = 1;

n = 7;

m = 1;

teta = (m*3.14*R)/(n*L); ty = (h*(n^2))/R;

A1 = ty/4; A2 = -2; A3 = (((ty^2)*(((1 +

  teta^2))^2))/(48*(1 - (ny^2)))) + ((teta^4)/(4*((1 + \

(teta^2))^2)));

A4 = (1/8) + ((ty^2)*(teta^4)/(6*(1 - (ty^2)))); A5 = (ty^2)*((1 + \

(teta^4))/128);

A6 = -((ty/16)*(1 + (8*(teta^4))/(4*((1 + (teta^2))^2))));

A7 = (((ty^2)*(teta^4))/4)*(1/((1 + (teta^2))^2) +

  1/((1 + 9*(teta^2))^2));

B1 = (A3*A6); B2 = (2*A3*A7 + A6^2 - 4*A4*A5); B3 = (3*A6*

  A7); B4 = (2*A7^2); B5 = (A1*A6); B6 = (2*A1*A7 - 4*A2*A5);

ksi = 2.11;

q = (B1 + B2*ksi + B3*(ksi^2) + B4*(ksi^3))/(B5 + B6*ksi)