Нечеткие множества в системах управления (стр. 5 )

μf(A)(y) = min(μA(x), μf(x, y)).

Замечание. Мы не приводим примеров использования принципа обобщения. Предлагаем подумать, каким образом можно определить нечеткое число и как с помощью принципа обобщения (не забывая декартова произведения) и классических операций возведения числа в степень(одноместная), сложения и умножения (двуместные) получать соответствующие нечеткие результаты. К нечетким отображениям мы вернемся, когда будем рассматривать понятие нечеткого отношения.

2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ

Пусть Е = Е1×Е2× ...×Еn - прямое произведение универсальных множеств и М - некоторое множество принадлежностей (например М = [0,1]). Нечеткое n-арное отношение определяется как нечеткое подмножество R на E, принимающее свои значения в М. В случае n=2 и М = [0,1], нечетким отношением R между множествами X = Е1 и Y = Е2 будет называться функция R:(X, Y)→ [0,1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х, y)∈X×Y величину μR(x, y) ∈[0,1]. Обозначение: нечеткое отношение на X×Y запишется в виде: x∈X, y∈Y: xRy. В случае, когда X = Y, т. е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R: X×X→[0,1] называется нечетким отношением на множестве X.

Примеры:

Пусть X = {x1,x2,x3}, Y = {y1,y2,y3,y4}, М = [0,1]. Нечеткое отношение R=XRY может быть задано, к примеру, таблицей:

	y1	y2	y3	y4
x1	0	0	0,1	0,3
x2	0	0,8	1	0,7
x3	1	0,5	0,6	1

Пусть X = Y = (-, ), т. е. множество всех действительных чисел. Отношение x>>y (x много больше y) можно задаеть функцией принадлежности:

Отношение R, для которого μR(x, y) = e-k(x-y)2, при достаточно больших k можно интерпретировать так: "x и y близкие друг к другу числа".

В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором пара вершин (xi, xj) в случае XRX соединяется ребром с весом μR(xi, xj), в случае XRY пара вершин (xi, yj) соединяется ребром c весом μR(xi, yj).

Примеры:

Пусть Х={x1,x2,x3}, и задано нечеткое отношение R: X×X→ [0,1], представимое графом:

Пусть X={x1,x2} и Y={y1,y2,y3}, тогда нечеткий граф вида:

задает нечеткое отношение XRY.

Замечание. В общем случае нечеткий граф может быть определен на некотором G⊂X×Y, где G - множество упорядоченных пар (x, y) (необязательно всех возможных) такое, что G∩ = ∅ и G∪ = X×Y.

Будем использовать обозначения вместо и вместо .

Пусть R: X×Y→[0,1].

Носитель нечеткого отношения.

Носителем нечеткого отношения R называется обычное множество упорядоченных пар (x, y), для которых функция принадлежности положительна:

S(R)={(x, y): μR(x, y)>0}.

Нечеткое отношение содержащее данное нечеткое отношение, или содержащееся в нем.

Пусть R1 и R2 - два нечетких отношения такие, что:

∀(x, y)∈X× Y: μR1(x, y)≤μR2(x, y),

тогда говорят, что R2 содержит R1 или R1 содержится в R2 .

Обозначение: R1⊆R2 .

Пример:

Отношения R1 , R2 - отношения типа y>>x (y много больше x). При k2 > k1 отношение R2 содержит R1 .

Операции над нечеткими отношениями

Объединение двух отношений R1 и R2.

Объединение двух отношений обозначается R1∪R2 и определяется выражением:

μR1∪R2(x, y) = μR1(x, y)∨ μR2(x, y)

Примеры:

1. Ниже изображены отношения действительных чисел, содержательно означающие: xR1y - "числа x и y очень близкие", xR2y - "числа x и y очень различны" и их объединение xR1∪R2y - "числа x и y очень близкие или очень различные".

Функции принадлежности отношений заданы на |y-x|.

μR1∪R2(x, y) =

  

μR1(x, y), | y - x | ≤α μR2(x, y), | y - x | >α

где α - такое |y-x|, что μR1(x, y) = μR2(x, y)

2.

R1 y1 y2 y3 x1 0,1 0 0,8 x2 1 0,7 0

R2 y1 y2 y3 x1 0,7 0,9 1 x2 0,3 0,4 0,5

R1∪R2 y1 y2 y3 x1 0,7 0,9 1 x2 1 0,7 0,5

Пересечение двух отношений.

Пересечение двух отношений R1 и R2 обозначается R1∩R2 и определяется выражением:

μR1∩R2(x, y) = μR1(x, y)∧ μR2(x, y)

.

Примеры:

1. Ниже изображены отношения: xR1y, означающее "модуль разности |y-x| близок к α", xR2y, означающее "модуль разности |y-x| близок к β", и их пересечение.

Алгебраическое произведение двух отношений.

Алгебраическое произведение двух отношений R1 и R2 обозначается R1⋅R2 и определяется выражением:

μR1⋅R2(x, y) = μR1(x, y)⋅ μR2(x, y)

Алгебраическая сумма двух отношений.

Алгебраическая сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R1R2 и определяется выражением: .

Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

R1∩(R2∪R3) = (R1∩R2 )∪(R1∩R3),

R1∪(R2∩R3) = (R1∪R2)∩(R1∪R3),

R1⋅(R2∪R3) = (R1⋅R2)∪(R1⋅R3),

R1⋅(R2∩R3) = (R1⋅R2)∩(R1⋅R3),

R1(R2∪R3) = (R1R2)∪(R1R3),

R1(R2∩R3) = (R1R2)∩ (R1R3).

Дополнение отношения.

Дополнение отношения R обозначается и определяется функцией принадлежности:

(x, y) = 1 - μR(x, y)

.

Дизъюнктивная сумма двух отношений.

Дизъюнктивная сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R⊕R и определяется выражением:

R1⊕R2 = (R1∩2)∪(1∩R2) .

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому.

Пусть R - нечеткое отношение с функцией принадлежности μR(x, y). Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением:

По договоренности принимают μR(x, y)=0 при μR(x, y) = 0,5.

Проекции нечеткого отношения.

Пусть R - нечеткое отношение R: (x, y)→[0,1]. Первой проекцией отношения R (проекция на X) называется нечеткое множество , заданное на множестве X, с функцией принадлежности:

.

Аналогично, второй проекцией (проекцией на Y) называется нечеткое множество , заданное на множестве Y, с функцией принадлежности: