Нечеткие множества в системах управления (стр. 7 )

В частности, операция Λ может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о (max - prod)-композиции.

Обычное подмножество α - уровня нечеткого отношения

Обычным подмножеством α - уровня нечеткого отношения R называется четкое (обычное) отношение Rα такое, что

μR1(x, y) =

Очевидно, что из α1≤ α2 следует Rα1 ≥ Rα2.

Теорема декомпозиции

Любое нечеткое отношение R представимо в форме:

R = α⋅Rα, 0<α≤1,

где α⋅Rα означает, что все элементы Rα умножаются на α.

Условные нечеткие подмножества.

Пусть X и Y - универсальные множества, взаимосвязь которых задана нечетким отношением R: (X×Y)→[0,1], т. е. для каждой пары (x, y)∈X×Y задано значение функции принадлежности μR(x, y)∈[0,1].

Пусть А - некоторое нечеткое множество, заданное на Х, т. е. определена функция принадлежности μA(x) для всех х из Х. Тогда нечеткое множество А и нечеткое отношение R индуцируют в Y нечеткое подмножество B с функцией принадлежности

μB(y) = min[μA(x), μ R(x, y)] = [μ A(x)Λ μR(x, y)].

Обозначение: B = A●R.

Пример:

Пусть X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3, y4} и заданы нечеткое отношение

XRY =		y1	y2	y3	y4
x1	0,8	1	0	0,3
x2	0,8	0,3	0,8	0,2
x3	0,2	0,3	0	0,4

и нечеткое множество A = {0,3/x1,0,7/x2,1/x3}.

Проведем операцию Λ для А и столбца y1 :

x1 x2 x3 0,3 0,7 1

L

y1 0,8 0,8 0,2

=

y1 0,3Λ0,8 0,7Λ0,8 1Λ0,2

=

y1 0,3 0,7 0,2

После выполнения операции V на элементах полученного столбца имеем:

μB(y1) = 0,3V0,7V0,2 = 0,7.

Проделав аналогичные вычисления для y2, y3, y4 имеем:

μB(y2) = 0,3

μB(y3) = 0,7

μB(y4) = 0,4.

И окончательно:

A	R	B
0,3 0,7 1	·	0,8 1 0 0,3 0,8 0,3 0,8 0,2 0,2 0,3 0 0,4	=	0,7 0,3 0,7 0,4

Замечание. При заданном R, если А индуцирует В, то ближайшее четкое подмножество А индуцирует В.

Нечеткие подмножества последовательно обуславливающие друг друга

Если

А1 индуцирует А2 посредством R1,

А2 индуцирует А3 посредством R2,

.............................................

Аn-1 индуцирует Аn посредством Rn-1,

то

А1 индуцирует Аn посредством Rn-1●Rn-2● ...●R1,

где Rn-1●Rn-2● ...●R1 - определенная выше композиция нечетких отношений R1, R2, ..., Rn.

Пример:

Вернемся к примеру (max-min)-композиции.

R1	·	R2	=	R1●R2
y1 y2 y3 x1 0,1 0,7 0,4 x2 1 0,5 0	z1 z2 z3 z4 y1 0,9 0 1 0,2 y2 0,3 0,6 0 0,9 y3 0,1 1 0 0,5	z1 z2 z3 z4 x1 0,3 0,6 0,1 0,7 x2 0,9 0,5 1 0,5

Пусть А={0,3/x1, 0,7/x2 }, тогда

А1		R1		А2
0,3 0,7	·	0,1 0,7 0,4 1 0,5 0	=	0,7 0,5 0,3

А2		R2		А3
0,7 0,5 0,3	·	0,9 0 1 0,2 0,3 0,6 0 0,9 0,1 1 0 0,5	=	0,7 0,5 0,7 0,5

А1		R1●R2		А3
0,3 0,7	·	0,3 0,6 0,1 0,7 0,9 0,5 1 0,5	=	0,7 0,5 0,7 0,5

Немного о бинарных отношениях вида XRX

Нечеткие отношения вида XRX задаются функцией принадлежности μ R(x, y), но с условием, что x и y - элементы одного и того же универсального множества. В зависимости от своих свойств (основные - симметричность, рефлексивность, транзитивность) конкретные нечеткие отношения задают отношения сходства и различия, порядка или слабого порядка между элементами Х. Они имеют обширную сферу приложений в задачах автоматической классификации и принятия решений (сравнение альтернатив).

3. НЕЧЕТКАЯ И ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой <α, X, A>, где

α - наименование переменной,

X - универсальное множество (область определения α),

A - нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т. е. μ A(x)) на значения нечеткой переменной α.

Лингвистической переменной называется набор <β ,T, X,G, M>, где

β - наименование лингвистической переменной;

Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;

G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество T∪ G(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т. е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов

символ β используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;

пользуются одним и тем же символом для обозначения нечеткого множества и его названия, например терм "молодой", являющийся значением лингвистической переменной β = "возраст", одновременно есть и нечеткое множество М ("молодой").