Интегралы и дифференциальные уравнения (стр. 4 )

Типовое задание аттестационной работы

1. (2 балла) Сформулируйте определения: разбиения отрезка, диаметра разбиения, интегральной суммы, определенного интеграла, интегрируемой функции.

2. (2 балла) Исследуйте на сходимость и вычислите (если это возможно) интеграл:

3. (2 балла) Найдите площадь фигуры, расположенной внутри кривой и вне кривой .

4. (2 балла) Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями  .

5. (2 балла) Найдите площадь поверхности, образованной вращением области, ограниченной линиями  и, вокруг оси OX.

Теоретические вопросы для подготовки к аттестационной работе №1

Дать определения: разбиения отрезка, диаметра разбиения, интегральной суммы, определенного интеграла, интегрируемой функции. Сформулировать необходимые и достаточные условия интегрируемости функции на отрезке. Привести примеры. Объяснить геометрический и механический смысл определенного интеграла. Сформулировать свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрирование неравенств, интегрируемость модуля). Привести примеры. Дать определение среднего значения функции на отрезке. Сформулировать теорему о среднем для определенного интеграла и объяснить ее механический смысл. Привести пример. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Привести пример. Сформулировать теоремы о замене переменного и об интегрировании по частям  для определенного интеграла. Привести примеры. Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат. Интегрирование периодических функций. Привести примеры. Несобственный интеграл 1-го рода, его сходимость, расходимость, свойства. Привести примеры. Несобственный интеграл 2-го рода, его сходимость, расходимость, свойства. Привести примеры. Сформулировать признак сравнения для несобственных интегралов. Привести примеры. Сформулировать предельный признак сравнения несобственных интегралов. Привести примеры. Дать определения абсолютно и условно сходящихся  несобственных интегралов. Привести примеры. Несобственные интегралы с несколькими особенностями. Их сходимость и расходимость. Привести примеры. Дать определения криволинейной трапеции и криволинейного сектора. Записать формулы для вычисления их площадей. Привести примеры. Сформулировать определение длины  дуги. Записать формулы для вычисления длины дуги в декартовых и полярных координатах и в параметрическом виде. Привести пример. Записать формулы для вычисления объемов тел по площадям параллельных сечений и объемов тел вращения относительно координатных осей. Привести пример. Сформулировать определение площади поверхности вращения. Записать формулу для вычисления площади поверхности вращения в декартовых координатах. Привести пример.

Контроль по модулю №2 Ї «Дифференциальные уравнения»

Аттестационная работа по второму модулю проводится на 16 неделе и состоит из 4 вопросов. Все задания оцениваются по 3 балла (предполагаемые оценки: «0», «1», «2», «3»). Максимальное количество баллов за ответы составляет 12 баллов. Если работа написана с первой попытки, начисляется три премиальных балла.

Типовое задание аттестационной работы  «Дифференциальные уравнения»

(3 балла) Дифференциальные уравнения 1-го порядка.  Задача Коши для ДУ 1-го порядка. Сформулируйте теорему Коши о существовании и единственности решения задачи Коши. Приведите пример. (3 балла) Решите ДУ:  (3 балла) Найдите частное решение ДУ: (3 балла) Не вычисляя коэффициентов, укажите вид общего решения ДУ:

Теоретические вопросы для подготовки к аттестационной работе №2

Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши для ДУ 1-го порядка. Сформулировать теорему Коши существования и единственности решения задачи Коши. Привести пример. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Частные и общие решения. Интегральные кривые. Привести примеры. Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, уравнение Бернулли. Способы их решения. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Частные и общие решения. Решение ДУ с разделяющимися переменными и с однородной  по переменным правой частью. Привести примеры. Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка. Особые точки и особые решения ДУ 1-го порядка. Привести примеры. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения 1-го порядка. Приближенное решение ДУ 1-го порядка методом изоклин. Привести пример. Структура решения неоднородного линейного дифференциального уравнения. Сформулировать теорему о наложении частных решений. Привести пример. Линейно зависимые и независимые системы функций на отрезке. Сформулировать теорему об определителе Вронского системы линейно зависимых функций. Привести пример. Линейное пространство решений ЛДУ, его размерность. Структура общего решения ОЛДУ. Фундаментальная система решений. Привести пример. Дифференциальные уравнения n-го порядка. Частные и общие решения. Задача Коши. Сформулировать теорему Коши существования и единственности решения. Привести пример. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Однородные и неоднородные ЛДУ. Сформулировать теорему Коши существования и единственности решения ЛДУ n-го порядка. Привести пример. Дифференциальные уравнения n-го порядка. Частные и общие решения. Задача Коши. Понижение порядка некоторых типов ДУ. Примеры. Линейное дифференциальное уравнение. Дифференциальный оператор и его свойства. Линейное пространство решений однородного ЛДУ. Привести пример. Формула Лиувилля - Остроградского для ОЛДУ и ее следствие. Привести пример. Структура общих решений однородного и неоднородного ЛДУ. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных для решения НЛДУ. Привести пример. Дифференциальные уравнения 2-го порядка. Задача Коши и ее геометрическая интерпретация. Сформулировать теорему Коши существования и единственности решения. Привести пример. Линейно зависимые и независимые системы функций на отрезке. Сформулировать теорему об определителе Вронского системы линейно независимых решений ОЛДУ. Привести пример.

Рейтинговая система контроля освоения дисциплины в семестре

№ блока	№ КМ	Наименование КМ	№ недели	Макс Балл	Зачетн. Балл	Порог для автомата	Автом начисл за экз
1	1	КР №1, «Техника интегрирования»	6	10+1	6
2	ДЗ №1, «Интегралы»	7 – 10	6+1	4
3	Аттестация №1	10	10+2	6
4	ППП-1	1 – 10	3	1*
Итого по Модулю 1	1 – 10	33	17	21	7
2	5	КР №2,  «Дифференциальные уравнения 1-го порядка»	12	10+1	6
6	ДЗ №2, «Дифференциальные уравнения»	13–15	6+1	4
7	Аттестация №2	16	12+3	8
8	ППП-2	11–17	4	1*
Итого по Модулю 2	11–17	37	19	24	8
Итого за работу в семестре	70	36	45	15