Урок по теме:
Переменная и кванторы
– Здравствуйте, ребята! Какими темами вы занимались на предыдущих уроках? (Переменная и выражения с переменными, предложения с переменными.)
- Чему был посвящён прошлый урок?
- Ваша работа на прошлом уроке была успешной?
- Что показали результаты прошлого урока?
– Сегодня вы продолжите работать с выражениями с переменными и предложениями с переменными и обязательно сделаете новые открытия.
На доске задание с уравнениями (задание выполняется устно, корни записываются на планшетках):
0,5 · x = 1,05 y : 0,01 = 430
0,5 · (x – 1,1) = 1,05 (y – 1,1) : 0,01 = 430
- Что вы видите на карточке? (Уравнения, предложения с переменными.)
- Что вы умеете с ними делать? (Умеем решать, задавать имя.)
- Сравните пары уравнений. Можно ли утверждать, что в каждой паре корни уравнений будут одинаковы? Обоснуйте свои предположения.
- Решите уравнения. (2,1; 3,2; 4,3; 5,4.)
- Прочитайте уравнение, в котором корень имеет самое маленькое значение, измените, это уравнение так, чтобы корень увеличился в 5 раз. (0,5 · x = 1,05; 0,5 · x = 5,25.)
На доске задание с предложениями (задание выполняется устно):
- Прочитайте высказывания и определите, истинны или ложны они.
1. Существует натуральное число n — составное.
2. Всякое натуральное число n — составное
.
- Вы должны записать утверждения на математическом языке.
- Какие утверждения вам даны? (Общее утверждение и утверждение для существования.)
- Что нового в задании? (Надо записать утверждение о существовании и общее утверждение на математическом языке.)
- Сформулируйте цель. (Научиться записывать утверждения о существовании и общие утверждения на математическом языке.)
- Выполните задание в тетерадях
- У кого нет ответа?
- Что вы не смогли сделать? (Мы не смогли записать утверждение о существовании и общее утверждение на математическом языке.)
- Поднимите планшетки с ответами.
- Какое задание вы должны были выполнить? (Нам надо было записать утверждение о существовании и общее утверждение на математическом языке.)
- Чем вы пытались воспользоваться? (Мы знаем, каким символом можно заменить слово «существует».)
- В каком месте возникло затруднение? (При замене слова «всякое» в общем утверждении, при записи утверждений на математическом языке.)
- Почему у вас возникло затруднение? (У нас нет символа, которое используется при записи общих утверждений и алгоритма записи общих утверждений и утверждений о существовании на математическом языке.)
- Вы перевели слова «существует» и «все» на английский язык:
Существует – exist. Все – all.
- Сравните символ ∃ со словом exist. Что интересного вы замечаете? (Символ похож на первую букву, но только перевёрнутый.)
- На основе того, что вы сказали, какой символ может заменить слово all?
Учащиеся предлагают свои варианты, учитель обобщает и вывешивает
- Эти символы в математике называются кванторами.
- Сформулируйте первый шаг, чтобы записать утверждение на математическом языке? (Определить вид утверждения.)
- Что дальше? (Ввести обозначение для переменной и записать ее после знака квантора.)
- Каков второй шаг? (Ввести обозначение для множества, в котором эта переменная принимает значения, указать ее принадлежность данному множеству и поставить двоеточие.)
- Последний шаг (Записать высказывание на математическом языке.)
- Выполните пробное задание на основе полученных знаний
Учащиеся работают в группах, результат вывешивается на доску:
1) ∃ n ∈ N: n – составное
2) ∀ n ∈ N: n – составное.
- Вы достигли поставленной цели? (Да, осталось научиться использовать сделанное открытие.)
- Для тренировки я вам предлагаю выполнить:
№ 000 (устно)
- Что вы должны сделать в задании? (Перевести с математического языка на русский язык.)
1) Каждый ученик имеет дневник;
2) Есть ученики, пишущие стихи;
3) Существуют слова, имеющие синонимы;
4) Каждое слово является глаголом;
5) Существуют параллельные прямые;
6) Любые точки окружность удалены на одинаковом расстоянии от центра окружности;
7) Для любых двух натуральных чисел выполняется одно из условий: a > b; a < b; a = b;
8) Существует тройка натуральных чисел, сумма которых равна их произведению.
№ 000 (5, 6).
Один ученик работает на доске с комментарием, остальные работают в тетрадях.
- Что теперь вы должны сделать? (Перевести с русского языка на математический язык.)
5) ∀ d1; d2 ∈ D: d1 = d2 (D — множество диаметров одной окружности);
6) ∃ a; b ∈ P: a ⊥ b (P — множество прямых).
№ 000 (7, 8).
Задание выполняется в парах, проверка проводится фронтально
При необходимости ошибки исправляются.
- Вы поработали вместе, в парах, что теперь? (Надо выполнить задание самостоятельно.)
- Для самостоятельной работы я вам предлагаю выполнить:
№ 000 (1–4)
Учащиеся самостоятельно выполняют упражнение.
- Вы выполнили задание самостоятельно, как убедиться, что вы сделала всё правильно?
.
№ 000
Задание выполняется самостоятельно, в группах, каждое задание озвучивает одна из групп.
После выполнения этого номера необходимо сделать вывод, о способах превращений предложений с переменными в высказывания.
1) Ставим квантор существования.
2) Ставим квантор общности.
3) Ставим квантор общности.
4) Ставим квантор существования.
- Сегодня на уроке вы уже решали уравнения, где умение решать уравнения вы можете использовать? (При решении задач.)
- При решении, каких заданий вы выполняете перевод с русского языка на математический язык?
- Сегодня я предлагаю повторить способ построения математических моделей по текстам задач.
№ 000.
Можно предложить выполнить задания по группам (каждой группе предлагается одна задача).
Каждая группа вывешивает результат своей работы и обосновывает свой ответ.
1) 2х + х + 2х – 32 = 148;
2) (х + 4) ⋅ 4,5 = (х – 6) ⋅ 6;
3) ху = 240;
(х + 3) (у – 4) = 240
4) х + у + 2х = 108;
x + 2y + 2x ⋅ 3 = 240.
№ 000 (1)
Задача решается у доски с комментарием.
19 лет
м. с. ст.
х л. (х + 5) л. 5х л.
х + х + 5+ 5х = 19;
7х + 5 = 19;
7х = 19 - 5;
7х = 14;
х = 14 : 7;
х = 2
2 г. – возраст младшей сестры
2 + 5 = 7 (л.) – возраст средней сестры
5 ⋅ 2 = 10 (л.) – возраст старшей сестры
Ответ: сёстрам 2 года, 7 лет и 10 лет.
Заключительный этап
– Что нового вы сегодня узнали на уроке? (Как можно записать на математическом языке общие высказывания и высказывания о существовании.)
– Как называются символы, которые вы используете для перевода с русского языка на математический язык высказываний и предложений с переменными? (Кванторы общности и существования.)
– Какие есть способы превращения предложения с переменными в высказывания? (Задать значения переменным или навесить соответствующий квантор.)
- Вы достигли поставленных целей?
- Что вам помогло достичь цели?
– Оцените свою работу на уроке.
Учащиеся работают с индивидуальными карточками (Р-1).
,
п. 1.2.3; №№ 000, 137 (одно на выбор), 140 (одну на выбор). |
1) понятие квантора существования:
∃ (квантор существования) – это символ, который используют для сокращенной записи высказываний о существовании. Читают: «существует такой, что...». |
2) понятие квантора общности:
∀ (квантор общности) – это символ, который используют для сокращенной записи общих высказываний. Читают: «для любого», «для каждого», «для всякого». |
3) алгоритм записи высказываний с помощью кванторов:
1. Ввести обозначение для переменной и записать ее после знака квантора. 2. Ввести обозначение для множества, в котором эта переменная принимает значения, указать ее принадлежность данному множеству и поставить двоеточие. 3. Записать высказывание на математическом языке. |
4) образец чтения предложений с кванторами:
∃ n ∈ N: 8 < n2 < 12 «Существует натуральное число, квадрат которого больше 8, но меньше 12». ∀ х ∈ P, у ∈ P: НОД (х, у) = 1 (P – множество простых чисел) «Наибольший общий делитель любых простых чисел равен 1» или «Любые простые числа являются взаимно простыми» | |
1) ∀ p ∈ P: p — есть исток (P — множество рек); | Общее утверждение. |
2) ∃ р ∈ P: p — длиннее Нила (P — множество рек); | Утверждение о существовании. |
3) ∀ d ∈ D: d — любит сладкое (D — множество детей) | Общее утверждение. |
4) ∃ d ∈ D: d — мечтают стать космонавтами (D — множество детей.) | Утверждение о существовании. |
