Цифровая обработка сигналов (стр. 2 )

Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на все пространство . Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех .

в) Формула обращения:

F(x)=.  (3)

Справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция f является достаточно гладкой. Если , то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.

Эта формула обьясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть – (бесконечная) сумма гармонических колебаний с частотами w, амплитудами и фазовыми сдвигами arg f(w) соответственно.

г) Теорема о свертке: если f, g, то

^(f*g) =^f^g,  (4)

(f*g)(t)=  (5)

д) Преобразование Фурье и дифференцирование.

Если f, f`, то

^(f`)=iw^f.                                  (6)

В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, т. е. обратимый переход от временного пространства в частотное пространство. Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

- Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (Теорема Парсеваля).

- Преобразования обратимы, причем обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.

- Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота есть консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо).

- По теореме о свертке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свертки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свертке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.

В работе будет использована дискретная версия преобразования Фурье с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ, англ FFT).

Дискретное преобразование Фурье – преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Кроме ЦОС используется также в тех случаях, когда необходимо быстро выполнить свертку, например при умножении больших чисел.

Пусть x0,x1,…,xn-1 – последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен f(t)=x0+x1t+x2t2+…+xn-1tn-1. Выберем какие-нибудь n точек на комплексной плоскости z0,z1,…,zn-1. Теперь многочлену f(t) мы можем сопоставить новый набор из n чисел:

F0:=f(z0),f1=f(z1),…,fn-1=f(zn-1).

       Набор {fk} и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора {xk}. В качестве точек zk обычно выбирают корни n-й степени из единицы:

.                          (7)

       Такой выбор продиктован  тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье по быстрому алгоритму может быть выполнено за O(nlogn) операций.

       В терминах обработки сигналов преобразование берет представление функции сигнала в виде временных рядов и отображает его в частотный спектр, где w –угловая частота. Т. е. оно превращает функцию времени в функцию частоты, это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах. Когда функция f является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции F представляет амплитуды соответствующих частот (w), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

       Теорема Котельникова гласит, что если аналоговый сигнал x(t) имеет конечный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим отсчетам, взятым с частотой, большей или равной удвоенной верхней частоте fc.

       Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временной характеристике точек разрыва. Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и обычно имеют разрывы во временной характеристике. Соответственно, их спектр бесконечен. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно и из теоремы Котельникова вытекают два следствия:

       - любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой f>2fc, где fc – максимальная частота которой ограничен спектр реального сигнала.

       - если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты дискретизации, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый не существует.

       

 

  2 Кодирование звуковой информации

В основе кодирования звука с использованием ПК лежит процесс преобразования колебаний воздуха в колебания электрического тока и последующая дискретизация аналогового электрического сигнала. Дискретизация – преобразование непрерывной функции в дискретную. Аналоговый сигнал – сигнал данных, у которого каждый из представляющих параметров описывается функцией времени и непрерывным множеством возможных значений.

Кодирование и воспроизведение звуковой информации осуществляется с помощью специальных программ. Качество воспроизведения закодированного звука зависит от частоты дискретизации и ее разрешения (глубины кодирования звука). Частота дискретизации – частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации, измеряется в герцах.

  2.1 Принципы оцифровки звука

Цифровой звук – это аналоговый звуковой сигнал, представленный посредством дискретных численных значений его амплитуды.

Оцифровка звука – технология поделенным временным шагом и последующей записи полученных значений в численном виде.

Другое название оцифровки звука – аналогово-цифровое преобразование звука.

Оцифровка звука включает в себя два процесса:

- процесс дискретизации (осуществление выборки) сигнала по времени

- процесс квантования по амплитуде.

Рисунок 1 – Представление аналогового сигнала в цифровой форме

Процесс дискретизации по времени – процесс получения значений сигнала, который преобразуется с определенным временным шагом – шагом дискретизации. Количество замеров величины сигнала, осуществляемых в одну секунду называют частотой дискретизации или частотой выборки или частотой семплирования. Чем меньше шаг дискретизации, тем выше частота дискретизации и тем более точное представление о сигнале нами будет получено. Это подтверждается теоремой Котельникова. Согласно ей, аналоговый сигнал с ограниченным спектром точно описуем дискретной последовательностью значений его амплитуды, если эти значения берутся с частотой, как минимум вдвое превышающий наивысшую частоту спектра сигнала. На практике это означает что для того, чтобы оцифрованный сигнал содержал информацию о всем диапазоне слышимых частот исходного аналогового сигнала (0-20 кГц) необходимо, чтобы выбранное значение частоты дискретизации составляло не менее 40 кГц. Количество замеров амплитуды в секунду называют частотой дискретизации. Основная трудность оцифровки заключается в невозможности записать измеренные значения сигнала с идеальной точностью.

Линейное (однородное) квантование амплитуды заключается в следующем алгоритме:

Отведем для записи одного значения амплитуды сигнала в памяти компьютера N бит. Значит, с помощью одного N-битного слова можно описать 2N разных положений. Пусть амплитуда оцифровываемого сигнала колеблется в пределах от -1 до 1 некоторых условных единиц. Представим этот диапазон изменения амплитуды – динамический диапазон сигнала в виде 2N-1 равных промежутков, разделив его на 2N уровней – квантов. Теперь, для записи каждого отдельного значения амплитуды, его необходимо округлить до ближайшего уровня квантования. Этот процесс носит название квантования по амплитуде. Квантование по амплитуде — процесс замены реальных значений амплитуды сигнала значениями, приближенными с некоторой точностью. Каждый из 2 N возможных уровней называется уровнем квантования, а расстояние между двумя ближайшими уровнями квантования называется шагом квантования. Если амплитудная шкала разбита на уровни линейно, квантование называют линейным.