Элементы теории поля и векторного анализа (стр. 8 )

,

получаем:

Таким образом, получаем уже известный нам результат:

или  .

3. 2. Соленоидальное векторное поле

Определение  Векторное поле A(x, y,z) называется соленоидальным (вихревым), если дивергенция этого поля равна нулю.

    (3.5)

В силу теоремы Остроградского-Гаусса (2.26) для соленоидального векторного поля A(x, y,z) имеет место соотношение:

    (3.6)

Поток соленоидального векторного поля A(x, y,z)  через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Поскольку, как мы знаем (формула (1.17)),  div rot A = 0  для любого векторного поля A(x, y,z), то векторное поле B(x, y,z), определяемое как B = rotA, будет соленоидальным векторным полем. A называется векторным потенциалом векторного поля B. Процедура нахождения векторного потенциала более сложная, чем скалярного, и мы не будем на ней останавливаться.

Для наглядного представления используются понятия векторной линии и векторной трубки векторного поля. Напомним, что векторной линией поля называется кривая L, в каждой точке которой касательная имеет направление вектора . Эта кривая находится из решения системы дифференциальных уравнений: (примем без доказательства).

Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями, проходящими через точки некоторой лежащей в поле замкнутой кривой, не совпадающей (даже частично) с какой-либо векторной линией (см. рис). Обозначим за S поверхность векторной трубки между двумя ее сечениями S1 и S2 .На боковой поверхности трубки, AdS = 0, так как A находится в касательной плоскости к этой поверхности. Поскольку поток соленоидального векторного поля A  через любую замкнутую поверхность равен нулю, то

, причем нормали к поверхностям и направлены наружу. Если в сечении S1 изменить направление нормали, чтобы оно было согласовано с направлением нормали к поверхности S2, получим:

  или 

в случае соленоидального векторного поля для всех сечений векторной трубки. Таким образом, поток соленоидального векторного поля (называется напряжением векторной трубки в сечении) через поперечные сечения векторной трубки сохраняет постоянные значения.

Приведем еще один физический пример, приводящий к понятию соленоидального векторного поля и поясняющий физический смысл ротора вектора. Рассмотрим абсолютно жесткое твердое тело. Такое тело может участвовать в двух движениях: поступательное движение тела как целого и вращение его точек вокруг некоторой оси. Из механики известно, что полная скорость движения v любой точки этого тела равна:

,  (3.7)

где v0 – скорость поступательного движение тела как целого,  Ω - вектор угловой скорости, r - радиус-вектор точки. Здесь предполагается, что начало координат, находится на оси вращения. Напомним, что вектор угловой скорости Ω - это вектор, длина которого равна значению угловой скорости, а направление совпадает с  тем направлением оси  вращения, по отношению, к которому вращение совершается против часовой стрелки. Решим теперь обратную задачу. Пусть нам дано поле скоростей v и нам надо найти вектор угловой скорости Ω. Заметим, что v0 одинаково в данный момент времени для всех точек тела, то есть не зависит от координат точек тела. Сосчитаем rot v. Имея в виду, что rot v0 = 0, и используя результат примера 1.11, получаем:

.

Таким образом, если rot v ≠ 0, то это означает, что в поле скоростей есть вращательная составляющая, причем угловая скорость вращения ω определяется соотношением . Рассмотрим еще, например, поле скоростей v в текущей жидкости. Если rot v ≠ 0, то колесико, поставленное в жидкость, будет вращаться с угловой скоростью . Если же rot v = 0, то колесико вращаться не будет.

Вернемся к соотношению (3.7). Поскольку rot v0 = 0 и div[Ω,r] = 0 (см. пример 1.10), то мы можем интерпретировать эту формулу как разложение векторного поля скоростей v на два: потенциальное поле v0 и соленоидальное поле [Ω,r].

Обобщая этот результат, можно сформулировать следующее утверждение. Любое векторное поле A можно разложить на потенциальную и соленоидальную части:

  где φ - скалярный потенциал поля, а B - векторный.

3. 3. Гармоническое векторное поле

Определение  Векторное поле A(x, y,z) называется гармоническим (или лапласовым), если оно одновременно и потенциальное и соленоидальное, то есть и дивергенция и ротор этого поля равны нулю.

    (3.8)

Из условия следует, что . Поскольку (см. 1.5.2) , где Δ - оператор Лапласа, то для гармонического поля потенциал φ удовлетворяет уравнению:

,  (3.9)

которое называется уравнением Лапласа. Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической функцией.

Пример 3.3. Показать, что функция - гармоническая функция. Мы показали в примере 1.8. , что , для произвольной функции . Полагая , получаем: , что и требовалось показать.

Следовательно, потенциал электростатического поля - гармоническая функция, а само электростатическое поле E – гармоническое поле.

Пример 3.4. Показать, что если u и v – гармонические функции, то , где S - замкнутая поверхность, ограничивающая область Ω. Мы показали в примере 1.9, что для произвольных функций координат u и v . Поэтому в соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса (2.26): .

Если u и v – гармонические функции, то есть Δu = 0 и Δv = 0, то , что и требовалось показать. Это так называемая вторая формула Грина.

Пример 3.5. Поскольку все вторые производные от функции , где A, B, C, D – произвольные постоянные, равны нулю, то φ - гармоническая функция.

Пример 3.6. Показать, что функция двух переменных является гармонической функцией. Для функций двух переменных оператор Лапласа имеет вид: . Поэтому:

что и требовалось показать.