Элементы теории поля и векторного анализа (стр. 1 )

Элементы теории поля и векторного анализа

Введение

При рассмотрении различных физических явлений мы часто встречаемся с понятием поле. Поле – это величина, зависящая от положения в пространстве. Различают скалярные и векторные поля. Напомним, что скаляр – это величина, которая характеризуется только ее значением, а вектор определяется его значением и направлением. Например, температура, плотность, энергия – скалярные величины, скорость, сила – векторные.

Скалярное поле – это поле, которое в каждой точке пространства характеризуется числом (скаляром). Скалярное поле образуют скалярные величины f(x, y,z), зависящие от положения точки в пространстве, то есть это обычная функция трех переменных. Например, скалярным полем является температура неоднородно нагретого тела, температура которого меняется от точки к точке. Поскольку функцию трех переменных невозможно изобразить в трехмерном пространстве, то для наглядного представления скалярного поля часто используют понятие поверхности уровня скалярного поля. Поверхности уровня проходят через точки с одинаковыми значениями поля, их уравнения имеют вид: f(x, y,z)=C=const. Ясно, что никакие две поверхности уровня f(x, y,z)=C1 и f(x, y,z)=C2 для однозначных функций  f(x, y,z) и для C1 ≠ C2  не имеют общих точек. Такой способ изображения скалярных полей особенно удобен, когда мы имеем дело с полем, заданным не в пространственной области, а в плоской, которое описывается функцией двух переменных f(x, y). В этом случае уравнение f(x, y)=C=const определяет кривую на плоскости, которую называют линией уровня плоского скалярного поля. С их помощью изображают, например, рельеф местности на географических картах: каждая линия соединяет точки, имеющие одну и ту же высоту над уровнем моря. Для некоторых поверхностей или линий уровня используют специальные названия: изотермы, изобары, эквипотенциальные поверхности и т. д..

Векторное поле - это поле, которое в каждой точке пространства характеризуется вектором , меняющимся от точки к точке. Другими словами, в каждой точке пространства заданы три функции трех переменных. Примером векторного поля может служить поле скоростей в текущей жидкости. В каждой точке жидкости значение скорости и ее направление может меняться. Для наглядного представления векторного поля используется понятие векторной линии векторного поля. Векторной линией поля называется такая кривая, в каждой точке которой касательная имеет направление вектора . Ясно, что через каждую точку для однозначных функций может пройти только одна векторная линия. В противном случае в точке пересечения векторных линий вектор поля имел бы направления в различные стороны. Сведения о длинах векторов в векторной линии поля утеряны, но их можно сохранить, если в местах, где поле мало, векторные линии провести пореже, а где велико – погуще.

Далее мы рассмотрим операции дифференцирования и интегрирования для скалярных и векторных полей.

1.  Дифференцирование полей

1.1 Производная функции (скалярного поля)  по направлению вектора

Рассмотрим скалярное поле  f(x, y,z) = f(M), где. M = M(x, y,z) – произвольная точка. Через точку M проведем прямую l с направляющим вектором q единичной длины. Известно, что q = cosα i+ cosβ j+ cosγ k, где  cosα ,  cosβ j, cosγ ,– направляющие косинусы прямой; i, j, k –орты прямоугольной системы координат

Рис.1

. Выберем на прямой точку M1. Пусть r(M) и r(M1)– радиус-векторы точек M и M1 соответственно. Из рисунка видно, что MM1 = r(M1 ) – r(M). Ясно, что MM1 = τq, где τ - некоторое число. Составим отношение:

Пусть M1 → M, то есть τ→0.

Определение  Предел отношения

называется производной функции (скалярного поля) f(x, y,z) в точке M по направлению l и обозначается .

Покажем, что такие производные можно вычислять по формуле:

  (1.1)

Мы знаем, что приближенно для малых приращений аргументов Δx, Δy, Δz прирашение функции Δf = f(M1) - f(M) имеет вид:

,  (1.2)

где .Поскольку , ,, то, подставляя эти соотношения в определение, получаем:

, что и требовалось доказать.

Таким образом, производная функции по направлению характеризует скорость изменения данной функции в этом направлении. Отметим, что понятие производной по направлению есть обобщение понятий частных производных. Например, - это производная по направлению вектора i (оси x).

1.2 Градиент функции (скалярного поля)

Вспомним, что нормаль к поверхности f(x, y,z) = C (поверхности уровня) в точке M– это прямая, направляющий вектор которой .С помощью данного вектора формулу (1.1) можно записать в виде: скалярного произведения, где, q, как и ранее, единичный направляющий вектор прямой l. Вектор n называется градиентом функции f в точке M и обозначается grad f(M).

Определение  Градиентом функции (скалярного поля) в точке M называется вектор с координатами то есть:

  (1.3)

Используя это определение, (1.1) можно представить в виде:

  (1.4)

Таким образом, производная функции по заданному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления.

Представим (1.1) в виде:

,  (1.5)

где φ угол между векторами grad f(M) и q.

Из соотношения (1.5) видно, что принимает наибольшее значение, если cosφ = 1, то есть φ =0 и, следовательно, направления векторов grad f(M) и q совпадают. Таким образом, направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке. Принимая во внимание этот результат, можно дать другое определение градиента функции, независящее от выбора системы координат.

Определение  Градиентом функции (скалярного поля) в точке M называется вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции и имеющий длину, равную производной функции в данной точке по направлению упомянутой нормали.

Градиент скалярного поля играет важную роль в физике. Например, сила F, действующая на частицу со стороны гравитационного или электростатического поля имеет вид: F =  -α grad φ, где α - некоторая константа, зависящая от выбора системы единиц. Функция φ в физике называется потенциалом соответствующего поля.

Дадим строгое математическое определение потенциала.

Определение  Векторное поле A(x, y,z) называется потенциальным, если его можно представить как градиент некоторого скалярного поля: A = grad φ. Само скалярное поле φ при этом называется потенциалом векторного поля A. В дальнейшем мы более подробно рассмотрим свойства потенциальных векторных полей.

Градиент функции обладает свойствами обычного дифференцирования. Например,

  grad(λφ) = λ grad φ;  (1.6)

  grad (ϕφ) = ϕgrad φ.+ φgrad ϕ.,  (1.7)

где λ = const; φ и ϕ произвольные дифференцируемые функции. Эти соотношения следуют из определения градиента (1.3).

Пример 1.1 Найти , где – r длина радиус-вектора r, .

  .

Аналогично, ,  . Следовательно,

Используя это выражение, получаем известную из электростатики формулу. Напряженность электрического поля E, создаваемого точечным электрическим зарядом Q, расположенным в начале координат, имеет вид: