10 класс задания (стр. 3 )

n		Последняя цифра
1	3	3
2	9	9
3	27	7
4	81	1
5	243	3
6	729	9
7	2187	7
8	6561	1
…	…	…

Как видно из таблицы, последние цифры повторяются с периодом 4, причина этого в том, что , следовательно, последняя цифра однозначно определяется последней цифрой . Так, если оканчивается на 1, то оканчивается на 3, если оканчивается на 3, то оканчивается на 9 и т. д.

Раз последние цифры чередуются с периодом 4, должно иметь ту же последнюю цифру, что и, например, . Следовательно, оканчивается на 1.

Аналогично определяется последняя цифра . Последние цифры степеней восьмерки чередуются следующим образом: 8, 6, 8, 6, … В результате делаем вывод, что оканчивается на 6.

Итого, последняя цифра равна 1 + 6 = 7. Окончательный ответ – остаток при делении на 5 числа равен двум.

Ответ: 2

Преобразуем выражение, выделив в нем полные квадраты:

Выражение не может оказаться меньше 1, т. к. первые два слагаемых являются точными квадратами и, следовательно, оба неотрицательны. При a = –1, b = 1/2 значение выражение равно как раз 1, в результате мы получаем ответ: наименьшее значение выражения равно 1.

Ответ: 1

Перенесем знаменатель в правую часть. Следует не забыть проследить, чтобы в ответе не оказалось корней, при которых знаменатель равен нулю. Итак:

.

В зависимости от возможных расположений x относительно точек 1 и –1 раскрываем внутренние модули:

Правый модуль в текущем интервале всегда раскрывается одинаково. Левый модуль раскрывается по-разному в зависимости от двух случаев:	Полученное уравнение, очевидно, имеет единственно решение: x = 0. Решение находится как раз в интервале [–1; 1]	Левый модуль в текущем интервале всегда раскрывается одинаково. Правый модуль раскрывается по-разному в зависимости от двух случаев.
:	:
ответ не лежит в интервале	ответ как раз лежит в интервале [1; 2]
:	:
ответ не лежит в интервале [–2, –1]	ответ как раз лежит в интервале

Итого после разбора случаев нашлось три ответа: 0, 4/3, 4. Ответ 0 отпадает, т. к. при x = 0 знаменатель .

Ответ: 4/3, 4

Ответ: 4, 4/3

Утверждение, что функция f(x) определена при всех x > 0, можно переформулировать иначе: подкоренное выражение неотрицательно при всех  x > 0.

Подкоренное выражение является квадратным трехчленом относительно x во всех случаях кроме a = –1. При a = –1 коэффициент при оказывается равным 0, и этот случай следует рассмотреть отдельно. Если a = –1, то , отсюда видно, что f(x) определена при всех x > 0, следовательно,  a = –1 входит в ответ.

Пусть теперь , тогда подкоренное выражение является квадратным трехчленом, и мы можем перечислить обязательные условия его положительности при x > 0:

старший коэффициент больше 0 (эквивалентно тому, что ветви параболы направлены вверх) значение в нуле неотрицательно (если бы значение в нуле было отрицательно, то значение при некотором достаточно малом x > 0 тоже было бы отрицательно)

Условие 1) равносильно тому, что старший коэффициент . Условие 2) равносильно тому, что при подстановке x = 0 подкоренное выражение неотрицательно, т. е.  .