10 класс задания (стр. 4 )

Оба условия вместе дают результат, что . Итак, никакие другие a не могут подходить в качестве ответа. Проверим, что при любом функция f(x) определена для x > 0.

Найдем местоположение вершины параболы – графика квадратного трехчлена. при .

Следовательно, при парабола выглядит примерно так, как показано на рисунке:

Из рисунка видно, что все значения квадратного трехчлена при x > 0 положительны. Следовательно, для всех значений параметра a на интервале (–1; 1] функция f(x) определена при x > 0. В ответ следует включить случай a = –1, рассмотренный отдельно в самом начале.

Ответ: [-1..1]

Примечание. Коэффициенты квадратного трехчлена подобраны таким образом, что его дискриминант имеет простое выражение: . Заметив это, можно решить задачу другим способом.

Условие задачи изображено на рисунке:

Обозначим длину отрезка BC за a. Т. к. ABCD параллелограмм, то AD = a. Найдем длины BP и PC.

BP + PC = a BP / PC = 1/3

Решаем эту систему и находим, что BP = 1/4 a, PC = 3/4 a. Аналогично находим длины AQ и QD: AQ = 2/5 a, QD = 3/5 a.

       В трапеции ABPQ точка M лежит на середине боковой стороны AB, при этом MO||AQ, т. к. MN – средняя линия в параллелограмме ABCD. Следовательно, MO – средняя линия в трапеции ABPQ и ее длина может быть вычислена по формуле: MO = (BP + AQ) / 2 = (1/4 a + 2/5 a) / 2 = 13/40 a.

Аналогично, ON – средняя линия трапеции QPCD и ее длина вычисляется по формуле ON = (PC + QD) / 2 = (3/4 a + 3/5 a) / 2 = 27/40 a.

Итак. MO / ON = 13 / 27.

Ответ: 13/27

Квадратный трехчлен из условия задачи имеет корни и в том и только в том случае, когда , (см. теорема Виета). Различные целые положительные и с суммой 2006 перечислены в списке:         = 1,                 = 2005         = 2,                 = 2004         = 3,                 = 2003

  …

= 1002,         = 1004

следующая пара в списке = 1003, = 1003 не подходит, потому что в ней = , а все последующие начиная с = 1004, = 1002 не подходят, потому что в них не получается новых произведений .

       Итого, найдено всего 1002 пары корней , дающих в общей сложности 1002 значения .

       Ответ: 1002

Обозначим через N количество яблок у Василия, через f – количество друзей Василия, которое пришло к нему вначале, через p – количество яблок, которое досталось каждому другу вначале. Мы можем написать три уравнения: N = fp                                                пока не подошли два последних друга N = (f + 1) (p – 15)                                до того как подошел последний друг N = (f + 2) (p – 15 – 9)                        после того  как подошли все друзья

Преобразуем все три уравнения, раскрыв скобки:

N = fp N = fp – 15f + p – 15 N = fp – 24f + 2p – 48

Внимательный взгляд на полученное позволяет сделать вывод:

– 15f + p – 15 = 0 – 24f + 2p – 48 = 0

Из первого уравнения удается найти p = 15f + 15, подставляем это во второе уравнение,
– 24f + 2 (15f + 15) – 48 = 0 6f – 18 = 0 f = 3. Итак, вначале к Василию пришло 3 друга, т. е. всего у него в конце было 5 друзей.

       Найдем количество яблок N у Василия: p = 15f + 15 = 60, окончательно N = fp = =180

       Ответ: 180, 5

Скорость восстановления разметки равна 6 км/ч, за восьмичасовой рабочий день можно восстановить км дорожной разметки. Пусть города находятся на некотором меньшем расстоянии, например 48 – x км. Начало рабочего дня всегда начинается с восстановления разметки, по времени восстановление никогда не будет занимать больше (48 – x) / 6 часов = 8 – x/6 часов. Значит, после восстановления разметки у рабочих есть еще минимум x/6 часов для строительства нового участка дороги. Если скорость строительства дороги u (не будем ее вычислять, хотя это возможно, раз нам дано, что за первый рабочий день построено 2 км), то каждый день строится минимум ux/6 километров. Ну а раз каждый день строится как минимум некоторое определенное количество километров, в конце концов, дорога будет построена.

Результат. Если расстояние между городами меньше 48 км, то между ними будет построена дорога. Если расстояние между ними больше 48 км, дорога никогда не будет построена, потому что рабочего дня не хватает даже на то, чтобы восстановить разметку на участке дороги между городами.