Перемежаемость как бифуркационный путь перехода оксигидратных систем к хаосу (стр. 2 )

В роли электрического сопротивления выступит динамическая вязкость геля, которая препятствует электрически заряженной частице перемещаться, то есть . Как индуктивность – механическая инерция отдельного иона: .

Окончательно получим соотношение для колебаний в виде осциллятора Ван-дер-Поля: . Это – картина колебаний между парой слоёв Штерна. Заметим, что сходные колебания обнаруживаются и экспериментально.

Такая диаграмма тока, полученная экспериментально, приведена на рис. 3. На рисунке пунктиром изображена линия, отмечающая основной «тренд» (то есть сильно усреднённую линию, не учитывающую отдельных колебаний). Если найти разность тренда и эксперимен-тальных данных, то картина колебаний становится более очевидной (рис. 4).

Из рис. 4 несложно определить примерную частоту колебания. Она составляет одно колебание примерно в 2000-3000 замеров, то есть один раз в 400-600 с, или Гц.

Можно также сравнить одно отдельное колебание, отмеченное в данном эксперименте, и колебание осциллятора Ван-дер-Поля (рис. 5). Некоторую информацию можно получить из фазовой диаграммы колебания (рис. 6).

Обратная задача для осциллятора Ван-дер-Поля. Из сопоставления осциллятора Ван-дер-Поля и эксперимента мы можем определить характеристики колебания. Для стандартного ненагруженного уравнения осциллятора величина , период колебания 400-600 секунд, то есть , . Следовательно, .

Рис. 3. Экспериментальная зависимость тока от времени. Оксигидрат железа. Пунктирная линия приближает тренд.	Рис. 4. Экспериментальная зависимость тока от времени. Оксигидрат железа. Разность экспериментальных данных итренда.

Рис. 5. Сопоставление ненагруженного осциллятора Ван-дер-Поля (точечная линия) и эксперимента (сплошная линия)	Рис. 6. Фазовая диаграмма. Сопоставление ненагруженного осциллятора Ван-дер-Поля (сплошная линия) и эксперимента (точечная линия).

Так как из уравнения несложно видеть, что , то получаем оценки для отношения массы и вязкости , , или, вспоминая , получаем: . Если дополнительно известны какие-либо величины, можно получить оценки для расстояний, масс и так далее.

Свойства осциллятора Ван-дер-Поля. Хаос. Мы считаем, что вся система представлена взаимодействующими осцилляторами Ван-дер-Поля. Из качественного анализа динамических систем [8] известно, что осциллятор Ван-дер-Поля, подчиняющийся уравнению , обладает, в зависимости от знака , следующими свойствами:

Если , то осциллятор имеет принеустойчивый фокус (это означает, что если в силу каких-то причин фазовая траектория оказывается около , то она быстро покинет эту область) и устойчивый предельный цикл (то есть некая замкнутая фазовая кривая, вокруг которой и будут происходить колебания). Если , то осциллятор имеет при устойчивый фокус (это означает, что если в силу каких-то причин фазовая траектория оказывается около, то она начнёт стремиться к этому фокусу, то есть колебания будут быстро уменьшаться в амплитуде) и неустойчивый предельный цикл (то есть некая замкнутая фазовая кривая, с которой будет происходить уход колебания и его сваливание в точку фокуса). Второй случай соответствует затухающим колебаниям.

Как будут воздействовать на колебания правые части дифференциального уравнения? Может возникнуть резонанс, если внешняя сила функция в уравнении задаёт внешнее колебание с частотой , которая близка к собственным частотам колебания .

Во-вторых, частоты и могут быть некратны и даже взаимно-простые. Это приведёт к хаотическому набору фазовых траекторий около предельного цикла.

Кроме этого, определяемые нами колебания задаются большим количеством осцилляторов, параметры которых, то есть числа и , могут различаться. Может также различаться и внешняя, вынуждающая, сила осцилляторов. Следовательно, возникает вопрос о суммарном осцилляторе, который достаточно сильно отличается от одного осциллятора.

Суммарный осциллятор, как это несложно видеть, в уравнении Ван-дер-Поля представлен правой частью. Поэтому, чтобы выяснить вопрос о хаотичности, необходимо рассмотреть правую часть. Решим для этого обратную задачу о нахождении правой части уравнения Ван-дер-Поля.

Обратная задача для осциллятора. Пусть у нас есть одна основная частота осциллятора, и эта частота найдена выше. Тогда уравнения должны иметь вид: . Если мы знаем значения функции в любой момент времени, то мы можем найти и функцию непосредственным вычислением. Нам также понадобится найти и величину . Система, таким образом, переопределена, и мы должны будем искать её квазирешение [9].

Отметим, что у нас есть не функции, а дискретные значения в определённые моменты времени. Пусть момент времени соответствует номеру нуль, секунды – моменту времени и момент времени . Тогда введём обозначение – значение тока в момент времени .

В уравнении производные заменим дискретным их представлением. Для нахождения производной также необходимо решать некорректную задачу. Воспользуемся методом, описанным в [10] в случае равномерной сетки: и

.

Получим набор соотношений , где – значение, которое мы и будем должны определить из нашего соотношения, оно нам неизвестно. Точно также нам не известно значение .

Вычислив эти выражения, мы можем попытаться найти функцию , предполагая то или иное значение параметра . Так, при получается следующая восстановленная картина вынуждающей силы, рис. 10.