Перемежаемость как бифуркационный путь перехода оксигидратных систем к хаосу (стр. 3 )

Гистограмма частот в этом случаепозволяет сделать вывод о хаотичности правой части (рис. 8).

На рис. 8 хорошо видны пять треугольных распределений значений функции – то есть она представлена пятью процессами (на рисунке отчётливо видны треугольные диаграммы распределения этих процессов). Процессы отделены друг от друга промежутками – следовательно, мы можем говорить о независимости этих процессов. С течением времени картина шумов не меняется, шумы отделены друг от друга, то есть в своём роде, это некая квазиравновесная картина.

Рис. 7. Восстановленная правая часть	Рис. 8. Гистограмма функции

Хаотичность колебаний. Отметим, что процесс, рассмотренный выше, является постепенным переходом к хаосу. Колебания, приведённые на рис. 3, представляются квазиравновесными, наложенными на некоторый общий медленный процесс.

Рис. 9. Формирование синхронизированных спиральных волн в ячейках воздушно-сухого оксигидрата железа (формирование гелевых волн в течение года) без выраженных структурных нано детализаций

Очень хорошая фотография на рис. 9 отражает взаимодействие (в данном случае синхронизацию) спиральных волн в отдельных ячейках гелей оксигидрата железа. Если рассмотреть этот процесс более детально, то станет ясно, что плавная кривая, занимающая всё поле рис. 3, и начинающаяся в верхнем левом углу рисунка, и заканчивающаяся в правом нижнем есть не модулирование, а проявление так называемой перемежаемости, которая и является предвестником хаоса (рис. 2). Это – общее свойство систем оксигидратных гелей, и его несложно отследить, если только процесс рассматривать достаточно долго.

Заметим, что математических доказательств перехода к хаосу по экспериментальным результатам, вообще говоря, нет и поэтому мы вынуждены ограничиться визуальным рассмотрением экспериментальных данных. Перемежаемость – один из возможных сценариев перехода к хаосу. В этом случае происходит смена цугов одних колебаний другими, и со временем процесс становится полностью хаотическим.

Рассмотрим в качестве примера колебания тока, зафиксированные в оксигидрате олова (2011 год, сентябрь, 7-ой день после синтеза вещества), рис. 9.

Из рис. 9.2 следует случайный характер распределения – диаграмма имеет большое сходство с гауссовым распределением (то есть с полностью случайным процессом). Следовательно, мы можем считать происходящий процесс хаотическим. В то же время, есть и значительные отличия. Рассмотрим их подробнее.

Рассмотрим рис. 9.1. Несложно видеть, что относительно незначительные колебания («ламинарная фаза», то есть участки между пронумерованными пиками) сменяются резкими всплесками, помеченными на рисунке числами 1-15. Такое чередование в теории хаоса принято называть «перемежаемостью».

Рис. 9.1. График выплеска токов оксигидрата олова	Рис. 9.2. Гистограмма графика рис. Сходство с гауссовым распределением.
Рис. 9.3. Спектр мощности для рисунка 9.1, отфильтрован сдвигом на 10 позиций вправо.	Рис. 9.4. Гистограмма после решения обратной задачи (нахождение правой части)
Рис. 9. Выплеск нанотоков оксигидрата олова на 7-ой день после синтеза

Следовательно, мы можем заключить, что подобные переходы есть признак хаотизации токовых колебаний. В качестве другого доказательства нарастающей хаотизации процессов в коллоиде рассмотрим спектр мощности, приведённый на рис. 9.3. Значения пиков расположены при частотах: 2, 4, 12, 16, 27, 36, 42 и 57. Общий множитель, характеризующий умножение частот, равен примерно 1.7, и в результате получается такой набор частот (таблица).

Таблица. Набор экспериментальных и расчетных частот рис. 9.3.

Эксперимент	2	4	12	16	27	36	42	57
Расчёт	2.0	3.4	5.78	9.83	16.7	28.4	48.3	82.7

Точность небольшая, однако и диаграмма мощности не позволяет определить частоты более точно.

Построенная таблица позволяет сделать вывод о допустимости гипотезы об одном из сценариев перехода к хаосу, а именно явлению «удвоения периодов» Фейгенбаума (соответст-венно, для частот это уменьшение значений)[11]. В качестве множителя для частот может выступать не только число 0.5, но и другое число. В этом случае частоты образуют геомет-рическую последовательность с некоторым множителем. Такой переход вызван бифуркацией параметра уравнения Ван-дер-Поля (то есть изменением свойств системы).

Этот же самый процесс хаотизации можно наблюдать в течение длительного времени старения (более 80 суток) на примере гелей оксигидрата циркония [3]. Учитывая большое количество измеренных значений тока, выполним их усреднение за промежуток в 20 минут, и построим график зависимости усреднённого тока от времени. В результате получится некоторых график средних значений токовых выплесков, который, однако же, будет также хаотизироваться через процесс перемежаемости (рис. 10).

Рис. 10.1	Рис. 10.2
Рис. 10.3	Рис. 10.4
Рис. 10. Измерение средних значений нанотока в оксигидрате циркония в течение третьего и четвертого часа экспозиции для разного времени старения гелей после синтеза (от 5 суток до 90 суток)

На рис. 10 наглядно видна нарастающая хаотизация коллоидного вещества через перемежаемость: на рисунке 10 обнаруживается характерный скачок нанотока в интервале 35 суток. Далее, график тока постепенно эволюционирует, и второй очень характерный скачок тока появляется при t = 70 суток. То есть малые колебания развивается со временем в значительные пики при t = 35, 56, 70 суток. Происходит удвоение периода, а сам процесс сопровождается перемежаемостью: относительно ламинарная, без резких скачков фаза рисунка 10_1 перерастает в резкие колебания также высокой  амплитуды на рис. 10_2, 10_3 и 10_4.

Работы Рюэля, Такенса, Ньюхауса [8] утверждают, что малое возмущение квазипериоди-ческого движения на трехмерном торе может приводить к рождению странного аттрактора (СА). Причем если СА принадлежит потоку на , то есть тор не разрушается. Переход от трехчастотных квазипериодических колебаний к хаосу во многом подобен переходу к хаосу через квазипериодические движения на . В дискретной системе трехчастотным квазипе-риодическим движениям соответствует инвариантный двумерный тор . Применив сечение Пуанкаре для данного отображения, можно получить инвариантную замкнутую кривую, соответствующую в потоковой системе. Исследования показали, что инвариантная кривая в двойном сечении ведет себя подобно инвариантной кривой в сечении . Движение на часто моделируют с помощью обратимых отображений единичного квадрата, исходя из следующих соображений: сечение потока на трехмерном торе порождает отображение двух-мерного тора в себя, которое можно представить в виде

               

Фазовым пространством такого отображения является квадрат со стороной, равной единице, представляющий собой развертку двумерного тора, рис. 11.

(1)	(2)
Рис. 11. Отображение трехмерного аттрактора после 42 суток старения, время экспозиции: 1.5 часов  для исследуемых гелевых образцов 1, 2.

Если отображение обратимо, оно может соответствовать некоторому потоку на . Если отображение при некоторых значениях параметров перестает быть обратимым, то тор разрушается.