Конспект лекций по курсу «Методология выбора материалов и технологий в машиностроении и приборостроении» (стр. 20 )

x31=1+0,1*0==1;  x32== 1,50 +0,2 (—0,578) ==1,38; x33=60+5*0,204==61.

Таблица 14

Оптимизация симплексным методом

Номер опыта	x1	x2	x3	Функция отклика
1	1,05	1,56	61	72,3
2	0,95	1,56	61	70,1
3	1,00	1,38	61	65,4
4	1,00	1.50	57	68,2
5	1,00	1,70	58	73,9
6	1,00	1,72	63	76,5

Сравнивая между собой результаты первых четырех опытов, видим, что самый низкий выход целевого продукта получился в третьем опыте. Этот опыт следует исключить из дальнейшего рассмотрения.

Заменим его опытом 5, условия проведения которого рассчитаем по формуле (**):

В новом симплексе, образованном опытами 1, 2, 4 и 5, самым «неудачным» является опыт 4. Его заменим опытом 6, условия которого найдем, пользуясь той же формулой (**).

Далее процедура оптимизации может быть продолжена аналогично.

Рассмотрим теперь вопрос о том, как включить в программу исследований еще один фактор, например скорость вращения мешалки. Пусть до этих пор она была постоянной и равной 500 об/мин. Теперь будем считать эту величину фактором x4 и примем для нее шаг варьирования Дx4==100 об/мин.

Предыдущий симплекс для трех факторов (см. табл. 15) состоит из опытов 1, 2, 5 и 6. Чтобы из него получить новый симплекс для четырех факторов, введем опыт 7 (табл. 16).

Таблица 16 Добавление нового фактора в программу оптимизации

Номер опыта	x1	x2	x3	x4	Функция отклика
1	1,05	1,56	61	500	72,3
2	0,95	1,56	61	500	70,1
5	1,00	1,70	58	500	73,9
6	1,00	1,72	63	500	76,5
7	1,00	1,64	61	580	78,1

Условия проведения 7-го опыта найдем по формулам        (3.7) и (3.8):

Далее оптимизацию можно продолжить с учетом всех четырех факторов, пользуясь рассмотренной выше процедурой.

Лекция 16

Поиск по деформируемому многограннику

Это типичный и распространенный метод локального поиск поэтому рассмотрим его поподробнее, тем более что для случая двух переменных возможна его наглядная геометрическая интерпретация. Метод предложен Нелдером и Мидом, поэтому его час называют также по фамилии авторов.

Начнем рассмотрение с близкого ему симплексного метода (не  путать с симплексным методом в линейном программировании). Он более простой, однако находит широкое применение в решении задач планирования экстремальных экспериментов.

Рисунок 14. Иллюстрация идеи симплексного метода

Симплексами называют регулярные многогранники. Например, для случая двух переменных это будет равносторонний треугольник, для трех переменных - тетраэдр и т. д. Точки испытаний (рис. 14) совпадают с вершинами симплекса (точки 1, 2,3). Из вершины, в которой целевая функция максимальна (точка 1), проводится проектирующая прямая через цент тяжести симплекса. Затем строится новый симплекс, называемый отраженным, из точек 2, 3 и новой точки 4, расположенной на проектирующей прямой на надлежащем расстоянии от центра тяжести. Такая процедура в которой каждый раз вычеркивается вершина с максимально целевой функцией, повторяется. Треугольник (в случае двух переменных) как бы переворачивается через сторону с наименьшим значениями целевой функции. Существуют правила постепенного уменьшения размера симплекса и предотвращения циклического движения в окрестности минимума.

Использование именно регулярных многогранников обусловливает ряд недостатков метода: неэффективный поиск в искривленных оврагах, замедление поиска в некоторых ситуациях. В метод деформируемого многогранника симплекс может изменять свою форму, поэтому лучше приспособиться к особенностям многомерно поверхности.

Обозначим координаты вершин многогранника на /с-м шаг через

Хi, k  i = 1, . . ., п + 1;  k = 0, 1, ...

Выделим вершины, в которых целевая функция максимальная и минимальная, и обозначим их соответственно через Хплохое (Xмакс)и Xхорошее(X min).

(для упрощения формул индекс шага  к в дальнейшем будем опускать) Через

Xцентр обозначим центр тяжести всех вершин, исключая Хплохое:

Xn+2,j=

Работа метода состоит из следующих операций: отражения, растяжения, сжатия и редукции (рис. 15).

Рисунок 15. Операции метода деформируемого многогранника

Рисунок 16. Траектория метода деформируемого многогранника

Отражение (рис. 15, а) - это проектирование точки        Хплохое через центр тяжести с получением новой точки:

Хn+з = X(n+2)+a*((Хn+2 — Xплохое)

где а > 0 — коэффициент отражения.

Растяжение. Если отражение прошло успешно, т. е.

/ (Х„7з) < / (х^),

то продолжаем дальше растягивать симплекс (рис. 15, б) в соответствии с соотношением

Хn+4 = Х.(n+2)+С (Хn+з — Хn+2)

где с представляет собой коэффициент растяжения. Если растяжение успешно, т. е. если

f(Хn+4) < f (Xхорошее), то Хплохое заменяется на Х(т+4). В противном случае Хплохое заменяется на  Xn+3

Сжатие. Если отражение не успешно в том смысле, что f(Хn+з) > f (Xi) для всех i≠плохая, то симплекс сжимается (рис. 15, в) в сторону от центра тяжести Хn+2

Хn+5 = Х(n+2) + b* (Xплохая — Хn+2),

где 0 < b <1 — коэффициент сжатия. Хплохая заменяется на Хn+5.

Редукция. Если сжатие не успешно в том смысле, что f (Хn+з) > f (Хплохое), то симплекс уменьшается. Уменьшение происходит и сторону вершины с наименьшей целевой функцией Xхорошее (из рис.15, г). Координаты вершин пересчитываются:

Хi=Ххорошее+d*(Хi-Ххорошее), i=1,...,n+1.

Здесь  d< 1 — коэффициент редукции.

С приближением к минимуму уменьшается и многогранник. Авторы метода предлагают следующий критерий окончания поиска:

где е - произвольно малое число, от которого зависит точности и время оптимизации.

Деформируемый многогранник адаптируется к топографии целевой функции, вытягиваясь вдоль длинных наклонных плоскостей, сжимаясь в окрестности минимума, Он ползет по дну оврага (возможно, не так точно, как в методах Ньютона или переменной метрики) и достигает окрестностей минимума.

Конечно, стратегия метода зависит от выбора коэффициентов а, b, с, d,. В литературе можно найти следующие рекомендации по их выбору:

а = 1; b = 0,5; с = 2; d= 0,5.

Решение задач линейного программирования с помощью EXCEL

Решение задач линейного программирования с помощью ACCES

1 (требуется воспользоваться блок-схемами приложения)

2 Отжиг и нормализация могут быть и окончательной термической обработкой, если при этом получаются требуемые свойства материала в детали (снятие на­пряжений, перекристаллизация).