Задания (стр. 3 )

n		Последняя цифра
1	3	3
2	9	9
3	27	7
4	81	1
5	243	3
6	729	9
7	2187	7
8	6561	1
…	…	…

Как видно из таблицы, последние цифры повторяются с периодом 4, причина этого в том, что , следовательно, последняя цифра однозначно определяется последней цифрой . Так, если оканчивается на 1, то оканчивается на 3, если оканчивается на 3, то оканчивается на 9 и т. д.

Раз последние цифры чередуются с периодом 4, должно иметь ту же последнюю цифру, что и, например, . Следовательно, оканчивается на 1.

Аналогично определяется последняя цифра . Последние цифры степеней восьмерки чередуются следующим образом: 8, 6, 8, 6, … В результате делаем вывод, что оканчивается на 6.

Итого, последняя цифра равна 1 + 6 = 7. Окончательный ответ – остаток при делении на 5 числа равен двум.

Ответ: 2

Для решения задачи сначала произведем замену t = 3x. Уравнение примет вид . Его количество корней совпадает с количеством корней исходного уравнения, поэтому остановимся на поиске количества корней нового уравнения. Нарисуем графики функций y = sin t и в одной системе координат:

График функции проходит через точки A( ; -1) и B( ; 1). Корни уравнения соответствуют точкам пересечения графиков функций. Из рисунка видно, что пересечения следует искать только на отрезке [ ; ].  Подсчет количества точек пересечения дает ответ: 19.

       Ответ: 19

Перенесем знаменатель в правую часть. Следует не забыть проследить, чтоб в ответе не оказалось корней, при которых знаменатель равен нулю. Итак:

.

В зависимости от возможных расположений x относительно точек 1 и –1 раскрываем внутренние модули:

Правый модуль в текущем интервале всегда раскрывается одинаково. Левый модуль раскрывается по-разному в зависимости от двух случаев:	Полученное уравнение, очевидно, имеет единственно решение: x = 0. Решение находится как раз в интервале [–1; 1]	Левый модуль в текущем интервале всегда раскрывается одинаково. Правый модуль раскрывается по-разному в зависимости от двух случаев.
:	:
ответ не лежит в интервале	ответ как раз лежит в интервале [1; 2]
:	:
ответ не лежит в интервале [–2, –1]	ответ как раз лежит в интервале

Итого после разбора случаев нашлось три ответа: 0, 4/3, 4. Ответ 0 отпадает, т. к. при x = 0 знаменатель .

Ответ: 4/3, 4

Ответ: 4, 4/3

Условие задачи изображено на рисунке

Обозначим длину отрезка BC за a. Т. к. ABCD параллелограмм, то AD = a. Найдем длины BP и PC.

BP + PC = a BP / PC = 1/3

Решаем эту систему и находим, что BP = 1/4 a, PC = 3/4 a. Аналогично находим длины AQ и QD: AQ = 2/5 a, QD = 3/5 a.

       В трапеции ABPQ точка M лежит на середине боковой стороны AB, при этом MO||AQ, т. к. MN – средняя линия в параллелограмме ABCD. Следовательно, MO – средняя линия в трапеции ABPQ и ее длина может быть вычислена по формуле: MO = (BP + AQ) / 2 = (1/4 a + 2/5 a) / 2 = 13/40 a.

Аналогично, ON – средняя линия трапеции QPCD и ее длина вычисляется по формуле ON = (PC + QD) / 2 = (3/4 a + 3/5 a) / 2 = 27/40 a.

Итак. MO / ON = 13 / 27.

Ответ: 13/27

Преобразуем выражение из условия задачи

где t = cos(x). Квадратный трехчлен относительно t имеет положительный старший коэффициент и, следовательно, принимает свое наименьшее значение при t = – координата вершины. Вычислим . Подставим в , получим . Итак, выражение из условия задачи при cos(x) = принимает свое наименьшее значение, равное .

       Ответ: -3/2

Рассмотрим функцию f(x) = arccos(cos(x)). Заметим, что f(x) периодична с периодом , т. к. .

       Вычислим несколько первых слагаемых требуемой суммы.

Сумма этих шести слагаемых равна . Далее слагаемые будут повторятся, т. к. arccos(cos(x)) периодичная функция. Всего в сумме 300 слагаемых, период состоит из 6 слагаемых, т. о. слагаемые разбиваются на 300/6 = 50 периодов. Сумма слагаемых в каждом периоде . Итого ответ .