Задания (стр. 4 )

       Окончательный результат следует не забыть поделить на , которое написано как общий делить перед всей суммой.

       Ответ: 150

Обозначим через N количество яблок у Василия, через f – количество друзей Василия, которое пришло к нему вначале, через p – количество яблок, которое досталось каждому другу вначале. Мы можем написать три уравнения: N = fp                                                пока не подошли два последних друга N = (f + 1) (p – 15)                                до того как подошел последний друг N = (f + 2) (p – 15 – 9)                        после того  как подошли все друзья

Преобразуем все три уравнения, раскрыв скобки:

N = fp N = fp – 15f + p – 15 N = fp – 24f + 2p – 48

Внимательный взгляд на полученное позволяет сделать вывод:

– 15f + p – 15 = 0 – 24f + 2p – 48 = 0

Из первого уравнения удается найти p = 15f + 15, подставляем это во второе уравнение,
– 24f + 2 (15f + 15) – 48 = 0 6f – 18 = 0 f = 3. Итак, вначале к Василию пришло 3 друга, т. е. всего у него в конце было 5 друзей.

       Найдем количество яблок N у Василия: p = 15f + 15 = 60, окончательно N = fp = =180

       Ответ: 180, 5

Скорость восстановления разметки равна 6 км/ч, за восьмичасовой рабочий день можно восстановить км дорожной разметки. Пусть города находятся на некотором меньшем расстоянии, например 48 – x км. Начало рабочего дня всегда начинается с восстановления разметки, по времени восстановление никогда не будет занимать больше (48 – x) / 6 часов = 8 – x/6 часов. Значит, после восстановления разметки у рабочих есть еще минимум x/6 часов для строительства нового участка дороги. Если скорость строительства дороги u (не будем ее вычислять, хотя это возможно, раз нам дано, что за первый рабочий день построено 2 км), то каждый день строится минимум ux/6 километров. Ну а раз каждый день строится как минимум некоторое определенное количество километров, в конце концов, дорога будет построена.

Результат. Если расстояние между городами меньше 48 км, то между ними будет построена дорога. Если расстояние между ними больше 48 км, дорога никогда не будет построена, потому что рабочего дня не хватает даже на то, чтобы восстановить разметку на участке дороги между городами.

Ответ: 48

       Условие задачи изображено на рисунке:

       Проведем BK параллельно CD. Заметим KD || BC, KB || DC, следовательно, KBCD параллелограмм и KD = BC = . AD – секущая параллельных прямых BK и CD, следовательно AKB = ADC = 30°. Далее найдем длину отрезка AK = AD – KD = .

       Боковую сторону AB теперь можно найти по теореме синусов для треугольника ABK: . При этом ABK = 180° – AKB – BKA = 180° – 30°  – 15° = 135°. И sin 135° = . Теперь можно найти AB, оно получается равным 1.

       Ответ: 1

40. Воспользуемся формулами, получим:

(x + 1)! (x - 2)!·3!

+

2(x - 1)! (x - 4)!·3!

= 7(x - 1);

Проводим сокращение, умножаем обе части на 3!, получим

(x + 1)x(x - 1) + 2(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 3!·7(x - 1)

(x + 1)x + 2(x - 2)(x - 3) = 42

x2 + x + 2x2 - 10x + 12 = 42

x2 - 3x - 10 = 0

Решаем квадратное уравнение, получаем два решения: x = -2, x = 5. Но так как x согласно условию задачи может быть лишь положительным, то получаем x = 5.

Ответ: x = 5.

41. Применяем формулы, получим:

x! (x - 3)!

- 2

x! (x - 4)!·4!

= 3

x! (x - 2)!

Проводим сокращение дробей и умножаем обе части уравнения на 12:

12x(x - 1)(x - 2) - x(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 36x(x - 1)

12(x - 2) - (x - 2)(x - 3) = 36

12x - 24 - x2 + 5x - 6 - 36 = 0

x2 - 17x + 66 = 0

Решаем квадратное уравнение и находим два решения: x1 = 11, x2 = 6.

Ответ: x = 11 или x = 6.

42. Воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции.

При k = 1, = 2cosр/4. Утверждение верно.

2. Переход индукции.

Допустим при неком k = n (n ∈ N) выражение

истинно. Докажем, что оно верно и при k = n + 1, т. е.

Но так как (исходя из истинности перехода индукции)

то нам нужно доказать следующее утверждение:

= 2cosр/2n+2.

Делаем преобразования:

2 + 2cosр/2n+1 = 4cos2 р/2n+2.

Для доказательства этого равенства воспользуемся формулой понижения степени косинуса 2cos2x = cos2x + 1. Тогда

4cos2 р/2n+2 = 2(cosр/2n+1 + 1) = 2cosр/2n+1 + 2. Что и требовалось доказать.

Переход доказан, а потому исходное утверждение верно при любом n ∈ N.

43. Воспользуемся следующим равенством:

1/k - 1/(k + 1) = 1/k·(k + 1).

Тогда нашу сумму можно переписать в следующем виде:

1/1·2 + 1/2·3 + ... + 1/n·(n + 1) = 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ... + 1/n - 1/(n + 1) = 1 - 1/(n + 1).

Ответ: 1 - 1/(n + 1).