Стереометрия. Рабочая тетрадь (стр. 3 )

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ

В прямоугольном параллелепипеде стороны оснований 12см и 5см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найти боковое ребро. Основание прямой призмы – ромб с диагоналями 10см и 24см а высота призмы 10см. Найти большую диагональ призмы. Сторона основания правильной треугольной призмы 8см, боковое ребро 6см. Найти площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания. Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого см2. Найти ребро куба и его диагональ. Диагональ правильной четырёхугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найти угол между диагональю и плоскостью основания. Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5см и 3см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35см2. Найти площадь боковой поверхности призмы. Основание прямого параллелепипеда – параллелограмм со сторонами 8см и 15см и углом между ними в 60°. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см2. Найти площадь поверхности параллелепипеда. Найти объём прямой призмы АВСА1В1С1, если: а) ВАС=120° АВ=5см, АС=3см и наибольшая из площадей боковых граней 35см2; б) АВ1С=60°, АВ1=3см, СВ1=2см и двугранный угол с ребром ВВ1 прямой. Найти объём правильной п-угольной призмы, у которой каждое ребро равно а, если: а) п = 3, б) п = 4, в) п = 6. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найти объём призмы.

ПИРАМИДА

Многогранник, составленный из n – угольника и n – треугольников с общей вершиной называется пирамидой. Многоугольник называется основанием пирамиды, а треугольники– боковые грани пирамиды.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой  пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды– сумма площадей ее боковых граней.

Правильная пирамида

  Пирамида называется правильной, если ее основание– правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

  Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется  апофемой.

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Sбок = ЅРосн·ℓ

Sпол = Sбок + Sосн

V = ⅓Sосн · h

Усеченная пирамида

Возьмем произвольную пирамиду. Проведем плоскость параллельно плоскости основания пирамиды и пересекающую боковые ребра пирамиды. Эта плоскость разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, заключенный между параллельными плоскостями, является усеченной пирамидой. Основаниями усеченной пирамиды являются многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях. Боковые грани – трапеции. Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды. Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, боковые грани – равнобедренные равные трапеции, апофема – высота трапеции.

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ
	№ 1 Правильная пирамида. Найти Sбок. AS = 6, ∠CSD = 30o.
	№ 2 Правильная пирамида. ∠SEO = 600, ВС = 4см, E - середина CD. Найти Sпол.
	№ 3 Правильная пирамида. SC =10см. SO = см. Найти Sпол, Vпир.
	№ 4 Правильная пирамида. Угол SЕO равен 450. SO = 5см. О – центр АВС. Найти Sпол, Vпир.
	№ 5 Правильная пирамида. О – центр АВС. АВ = 8 см. ∠ ASO = 60o. Найти Sпол, Vпир.
ПОСТРОИТЬ СЕЧЕНИЕ ПИРАМИДЫ ПЛОСКОСТЬЮ (АВС)

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ

1) Дана правильная треугольная пирамида

Найти площадь боковой поверхности и объём пирамиды, если длина бокового ребра 12см, угол наклона бокового ребра к основанию 300. Найти сторону основания, боковое ребро и высоту пирамиды, если апофема равна , угол наклона боковой грани к основанию 450. Найти объём пирамиды, если высота равна 18см, угол наклона бокового ребра к основанию 450. Найти площадь полной поверхности, если сторона основания равна 6см, угол наклона боковой грани к основанию 600. Найти сторону основания и площадь основания пирамиды, если апофема равна 15см, длина высоты 12см. Найти площадь боковой поверхности, если сторона основания равна 15см, высота - 12см. Найти длину бокового ребра и высоту пирамиды, если площадь основания равна см2, площадь боковой поверхности 36 см2. Найти площадь полной поверхности пирамиды, если высота равна 1см, объём пирамиды - .

2) Дана правильная четырехугольная пирамида

Решить все задачи для четырёхугольной пирамиды.

ЦИЛИНДР

Построить на чертеже

Ось ОО1

Осевое сечение АВСЕ

Высоту КР

Образующую НТ

Радиус и диаметр основания

Сечение плоскостью, параллельной основанию

Рассмотрим две параллельные плоскости. В одной из них возьмем окружность с центром в точке О и радиусом r. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную другой плоскости Отрезки этих прямых, заключенные между плоскостями, образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндра.

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность – боковая поверхность цилиндра, круги – основания цилиндра. Прямая ОО1, соединяющая центры кругов – ось цилиндра.

Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой. Образующая является высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то полученное сечение называется  осевым сечением.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания.

Объём цилиндра  равен произведению площади основания цилиндра на высоту.

Sбок = 2ПRh

Sпол = Sбок + 2Sосн = 2ПR(R + h)

V = Sосн · h = ПR2h

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ
	№1 АВ – диаметр. Угол САВ равен 300.  АС = 4. Найти высоту и радиус основания.
	№2 АВКЕ – осевое сечение. Площадь сечения 35 см2. Найти объём, площадь  полной поверхности, если КВ = 7см.
	№4 АО – радиус цилиндра. АО1 = 8, угол ОАО1 = 600.  Найти  Sпол, Vцил.
	№4 АВ – диаметр. Угол KАВ равен 450. Площадь сечения 64 см2. Найти Sпол, Vцил.

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ

Высота цилиндра 10см. Радиус основания – 2см. Найти площадь полной поверхности и объём цилиндра. Диаметр цилиндра 6см. Угол между диагональю осевого сечения и основанием 300. Найти площадь полной поверхности. Диагональ осевого сечения 8см. Угол между диагональю и основанием 600. Найти образующую и радиус. Радиус равен 5см. Угол между диагональю осевого сечения и образующей 450. Найти объём цилиндра. Образующая 12см. Площадь осевого сечения 48см2. Найти  объём цилиндра и угол между диагональю осевого сечения и основанием. Длина окружности основания 6р см. Диагональ осевого сечения 10см. Найти площадь полной поверхности цилиндра. Высота цилиндра 9см. Площадь основания 4р см2. Найти площадь полной поверхности цилиндра. Площадь основания 9р см2. Площадь осевого сечения 36 см2. Найти объём цилиндра. Диаметр цилиндра 16см. Площадь боковой поверхности 56р см2. Найти объём цилиндра.

КОНУС