Стереометрия. Рабочая тетрадь (стр. 1 )

Рабочая тетрадь предназначена для студентов 1 курса, изучающих дисциплину «Математика». В пособии приводится основной теоретический материал по разделу «Стереометрия». Для каждой теоремы студент должен самостоятельно построить чертеж.

Рабочая тетрадь содержит набор заданий на готовых чертежах, которые помогут студентам на начальном этапе при решении задач. Эти задания отражают обязательный уровень освоения темы. Для повышенного уровня имеется список задач, в которых студентам предлагается самостоятельно построить чертеж к задаче и решить её.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

Все аксиомы планиметрии.

А1.  Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит  плоскость и притом только одна.

А2.  Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в  этой плоскости (прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую).

А3.  Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (т. е. плоскости пересекаются по прямой).

Следствия из аксиом

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Взаимное расположение прямых

1. Пересекающиеся прямые – имеют общую точку.

2. Параллельные прямые – лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3. Скрещивающиеся прямые – не лежат в одной плоскости.

Свойства

Теорема 1.  Через любую точку плоскости пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Теорема 2.  Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Признак.  Если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то такие прямые скрещивающиеся.

Теорема 3  Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

пересекающимися:  меньший из четырех полученных при пересечении углов. параллельными:  равен нулю. скрещивающимися:  через любую точку пространства провести прямые, параллельные данным;  найти угол между полученными пересекающимися прямыми.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

1.  Пересекающиеся, если имеют общую точку.

2.  Параллельными, если не имеют общих точек.

Признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Свойства

  Теорема 1

  Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны.

  Теорема 2

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями равны.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

1.  Прямая лежит в плоскости.

2.  Прямая пересекает плоскость в точке.

3.  Прямая параллельна плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая параллельна какой-либо прямой лежащей в плоскости, то эта прямая параллельна плоскости.

Свойства

Теорема 1

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в данной плоскости.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ

Определение 1 Перпендикулярными называются прямые, между которыми угол равен 900 (пересекающиеся или скрещивающиеся).

Определение 2 Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

  Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Свойства

Теорема 1  Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Теорема 2  Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к плоскости и притом только одна.

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ

АН – перпендикуляр, Н – основание перпендикуляра. АМ – наклонная, М – основание наклонной. Наклонная больше перпендикуляра, проведенного из одной точки. Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость *НМ – проекция наклонной на плоскость *АН – расстояние от А до плоскости б. ∠AMH - угол между прямой MA и плоскостью б.

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Обратная теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

Двугранный угол – это фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащих одной плоскости.

Измерение двугранного угла

CD – ребро двугранного угла, О принадлежит CD; точки А и В лежат в разных полуплоскостях, АО перпендикулярно CD; BO перпендикулярно CD. Угол АОВ называется линейным углом двугранного угла.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Может быть прямым, острым, тупым.

Признак перпендикулярности дух плоскостей

  Если одна из плоскостей проходит через прямую перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКИХ ФИГУР В СТЕРЕОМЕТРИИ

Квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм изображают параллелограммом. Любой треугольник (равносторонний, равнобедренный, прямоугольный и т. д.) изображаются как разносторонний остроугольный треугольник. Трапеция – трапеция. Круг (окружность) – эллипс.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

	№ 1 Даны точки А, В, С и D не лежащие на одной плоскости. Указать: плоскости, которым принадлежит прямая АВ, точка F, точка С; прямую пересечения плоскостей (АВС) и (АСD),  (АВD) и (DCF).
	№ 2 Плоскости  б и  в пересекаются по прямой  а. Может ли точка С принадлежать плоскостям?
	№ 3 Точка D лежит вне плоскости (АВС). Пересекаются ли прямые DE и ВС?
	№ 4 Плоскости б и в пересекаются по прямой n. Прямая m принадлежит плоскости б. Построить точку пересечения прямой m и плоскости в.
	№ 5 Плоскости б и в пересекаются по прямой а. Точки А и В принадлежат плоскости б, а точка С плоскости в. Построить прямые пересечения плоскости (АВС) с плоскостями б и в.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
	№ 6 ABCD – параллелограмм. Точки A, B и D лежат в плоскости б. Доказать, что точка С лежит в плоскости б.
	№ 7 Точка А лежит вне плоскости DNK. Доказать, что прямые AD и NK - скрещивающиеся.
	№ 8 Прямая b параллельна ВС. Прямая а пересекает плоскость (ABC). Доказать, что прямые а и b скрещивающиеся.
	№ 9 Дан куб. Для прямой А1С1 найти параллельную, пересекающуюся и скрещивающуюся прямые, параллельную плоскость. Найти yна чертеже: пересекающиеся прямые; параллельные прямые; скрещивающиеся прямые; параллельные плоскости; параллельную прямую и плоскость.
	№ 10 Точка К лежит вне плоскости  трапеции ABCD. Доказать, что CD параллельна плоскости (АКВ).
	№ 11 Плоскость б пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках В1 и С1 соответственно. В1С1 параллельна ВС, В1С1=6. АС1 : С1С = 3 : 4. Найти ВС.
	№ 12 Прямые АА1, ВВ1 и СС1 параллельны. АА1 = ВВ1 = СС1. Доказать параллельность плоскостей  (АВС) и (А1В1С1).
	№ 13 АА1С1В и СС1В1В - параллелограммы. Доказать параллельность плоскостей  (АВС) и (А1В1С1).
	№ 14 DA1 = AA1, DC1 = CC1, DB1 = BB1. Доказать параллельность плоскостей  (АВС) и (А1В1С1).
	№ 15 ABDE – параллелограмм. А1 - середина СЕ, С1 – середина CD, В1 - cередина BD. Доказать параллельность плоскостей  (АВС) и (А1В1С1).
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
	№ 16 АВ ⊥ АС, АМ ⊥ АС. Доказать, что  АВ ⊥ (АМС).
	№ 17 MDCB – прямоугольник. Доказать, что CD⊥(ABC).
	№ 18 ABCD – прямоугольник. Доказать, что AD ⊥ AM.
	№ 19 МС = МВ, АС = АВ, MD ⊥ CB. Доказать, что ВС ⊥ DE
	№ 20 ABCD – параллелограмм. АМ = МС, ВМ = MD. Доказать МО ⊥ (АВС).
	№ 21 ABCD – ромб. ВМ = MD. Доказать, что BD⊥(AMC).
	№ 22 Прямая МС⊥(АВС), CD⊥AB. АСВ = 90°.  АС = 4, МD= 3. AD=DB. Найти МС.
	№ 23 MD⊥(ABC). Треугольник АВС - равносторонний. АВ = 2, МD = 4. AD = DB. Найти МС.
	№ 24 МВ⊥(АВС). АСВ = 90°, МАВ = 60°, ВАС = 30°. Найти МВ.
	№ 25 MB⊥(ABC). ABCD - прямоугольник, МD = AD = 8. МАВ=45°, MDА = 60°. Найти АВ и ВС.
	№ 26 АА1- перпендикуляр, АВ и АС - наклонные. АВ = 17, АС= 10, ВА1= 15. Найти СА1.
	№ 27 АА1- перпендикуляр,  АВ и АС –наклонные. АА1 = 8, ВС = 12, САА1 = 60°, АСВ = 90°. Найти ВА1.
	№ 28 АА1- перпендикуляр, АВ и АС – наклонные. АА1 = 6, АВА1 = АСА1 = 60°, САВ = 120°. Найти ВС.
	№ 29 АА1- перпендикуляр, АВ и АС – наклонные. ВАС = 90°, АВА1 = 30°, АСА1 = 60°, СА1 = 4. Найти ВС.
	№ 30 АА1- перпендикуляр, АВ и АС – наклонные. АС = 12, ВС = 5, АСВ = 90°, АВА1 = 60°. Найти АА1 и СА1.
ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
	№ 31 MC⊥(ABC), ABCD – ромб. Доказать, что МО ⊥ BD.
	№ 32 МА ⊥ (АВС). MD ⊥ BC, BD=DC. Доказать, что АВ = АС.
	№ 33 MB⊥(ABC), MA⊥AD, ABCD - параллелограмм. Доказать, что ABCD – прямоугольник.
	№ 34 МА ⊥ (АВС), АСВ = 90°, СМВ = 30°, АС = 8, АВ = 17. Найти МВ.
	№ 35 МВ⊥(АВС), МВ = т, ВС = а, ВСА = α . Найти расстояние от точки М до прямой АС.
	№ 36 МО ⊥ (АВС), АО = ОВ, ОМ = 12, АС = 18, СВ = 10. Найти расстояние от точки М до прямых АС и ВС.
	№ 37 МВ ⊥ (АВС), АВ = 12, ВС = 30, МВ = 8, ВСD = 30°. АВСD - параллелограмм. Найти расстояние от М до АD и DC.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
	№ 38 ABCD–прямоугольник. МВ ⊥ (АВС). Доказать (АМВ) ⊥ (МСВ).
	№ 39 АВСD – квадрат. МВО = MDO = МСО = МАО. Доказать (АМС) ⊥ (АВС), (АМС) ⊥ (ВМD)
	№ 40 ABCD и BCFE – прямоугольники. Найти расстояние между прямой ВС и плоскостью (ADF), между прямыми EF и AD,  если FC = 20, DC = 15 (АВС) ⊥ (ВСF).
	№ 41 МВ⊥(АВС), ВС = 10, ВСА = 60°. Найти расстояние между прямыми МВ и АС.
	№ 42 КВ⊥(АВС), АВ = 15, ВС = 20, АВ = 90°. Найти расстояние между АС и КВ.
	№ 43 МА ⊥ α, АВ = 5, МВ = 10. Найти угол между МВ и α.
	№ 44 МА⊥α, АВ = 5, МА = . Найти угол между МВ и α.
	№ 45 МА ⊥ (АВС). МСА = 30°, МС = 8, МВ =. Найти угол между МВ и (АВС).
	№ 46 МА ⊥ (АВС), ВАС = 120°, МС = 4, ВС = 6, AC = AB. Найти угол между МВ и (АВС).
	№ 47 ACBD – квадрат. МА ⊥ (АСВ). AD = AM. Найти угол между МВ и (АВС).

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ