Основы фотоники (стр. 5 )

где . Дисперсионные соотношения определяются условием равенства нулю детерминанта системы уравнений (4.21):

.         (4.22)

Корни уравнения (4.22) определяют границы спектральной полосы: при частотах (запрещенная зона) корни комплексные, электромагнитные волны – затухающие (брэгговское отражение), частоты соответствуют распространяющимся волнам.

Для конкретизации результатов рассмотрим распространение электромагнитного излучения в несовершенной сверхрешетке, первый слой которой – кремний, а второй – жидкокристаллический, который считаем одноосными (, очевидно, что для zz-компоненты тензора в конечных формулах не фигурируют, а ).

Случай неидеальной сверхрешетки с переменным составом примесей. Обозначим концентрацию и диэлектрическую проницаемость основного вещества (матрицы) в первой и второй подрешетках соответственно, как и , а примеси - и  (для кремния, , а для жидкого кристалла ). Несложные преобразования (с учетом ) позволяют получить следующие соотношения для показателя преломления исследуемой системы:

,  (4.23)

то есть , где - ширина нижайшей запрещенной зоны. Из формулы (4.23) следует, что величина определяется соответствующим коэффициентом Фурье-разложения (4.11) (в данном случае ), запрещенные зоны высшего порядка также определяются соответствующими Фурье-коэффициентами диэлектрической проницаемости.

.                  (4.24)

Функции

зависят от концентрации примесных слоев и их относительной диэлектрической проницаемости

         

a)  б)

Рис. 4.4. Зависимость эффективного показателя преломления композитной сверхрешетки (с чередующимися слоями кремния и жидкого кристалла) от концентрации примесных слоев: a) , ; б) , ; .

               

На рис.4.4 приводится зависимость показателя преломления изучаемой сверхрешетки с параметрами , . Хорошо видно, что форма соответствующих поверхностей имеет немонотонный характер, если относительная диэлектрическая проницаемость примеси в обеих подрешетках либо гораздо меньше единицы (случай а), либо гораздо больше.

a)

b)

Рис. 4.5. Относительная ширина щели нижайшей запрещенной зоны   композитной сверхрешетки (с чередующимися слоями кремния и жидкого кристалла) от концентрации примесных слоев. Поверхность а) - для случая  , ;поверхность б) - для случая  , ; .

Как только отношение для какой-либо из подрешеток начинает возрастать, зависимость и от и становится монотонной (случай б). Эти факты определяют ход зависимости ширины нижайшей энергетической щели от и , при для случая а) на рис. 2  обращается в нуль.

Неидеальная сверхрешетка с переменной толщиной примесных слоев. Концентрацию и толщину слоя основного вещества (матрицы) в первой и второй подрешетках обозначим соответственно и  , а примеси - и  .  С учетом получаем соотношение (4.23) для показателя преломления исследуемой системы, причем в данном случае:

,         (4.25)

Функция  зависит от концентраций примесных слоев и их относительной толщины (рис. 4.6).

Рис.4.6. Зависимость величины от концентрации примесных слоев и их относительной толщины.

На рис. 4.7 приводится концентрационная зависимость показателя преломления исследуемой композитной сверхрешетки для различных значений отношений и . Хорошо видно, что форма соответствующих поверхностей имеет монотонный характер. Однако, характер зависимости определяется значением величины отношения . Последний факт определяет характер поведения ширины нижайшей запрещенной зоны. На рис. 4.8 показана зависимость относительной ширины этой энергетической щели сверхрешетки с чередующимися слоями кремния и жидкого кристалла в зависимости от  концентрации примесных слоев .