Операции на множестве ординальных чисел (стр. 4 )

Линейно упорядоченное множество из теоремы Шарковского не является фундированным.

Отношение «быть изоморфными» на парах линейно упорядоченных множеств удовлетворяет свойствам 1-3 из п. 2.1.

Линейно упорядоченное фундированное множество называется вполне упорядоченным. Следующая теорема позволяет сравнивать вполне упорядоченные множества друг с другом. Из этой теоремы следует, что из двух вполне упорядоченных множеств одно должно являться «начальным отрезком» другого.

3.3.3 Теорема. Пусть и – два вполне упорядоченных множества. Имеет место ровно один из следующих случаев.

Существует такой, что изоморфно . Существует такой, что изоморфно . и изоморфны.

Доказательство см. [1, стр. 63].

4. Определение ординалов. Их свойства. Сложение и умножение ординалов.

4.1 Теперь мы формулируем

Основное определение. Класс изоморфизма вполне упорядоченного множества называется ординалом4.

Перечислим важнейшие свойства ординалов.

Любые два ординала сравнимы. Именно, любые два ординала являются классами и некоторых вполне упорядоченных множеств. Для этих множеств имеет место теорема 3.3.3. В первом случае , во втором случае , в третьем . Всякое непустое семейство ординалов имеет наименьший элемент. Таким образом, любое множество ординалов вполне упорядочено5. Дадим доказательство данного свойства. Пусть – некоторое множество ординалов. Возьмем произвольный ординал . Если он наименьший, то доказывать нечего. Найдутся такие вполне упорядоченные множества и для всех , что и . Согласно теореме 3.3.3 найдутся такие элементы , что изоморфно . В силу того, что множество вполне упорядоченно, его подмножество имеет наименьший элемент . Таким образом . Любое ограниченное семейство ординалов имеет точную верхнюю грань. Доказательство: семейство ограничено, т. е. существует ординал , больший всех остальных; множество ординалов имеет наименьший элемент, который и будет искомой верхней гранью. Парадокс Бурали-Форте. Если попытаться рассмотреть «множество всех ординалов», то немедленно придем к противоречию: это «множество» вполне упорядочено и к нему всегда можно добавить еще один элемент, больший всех предыдущих. Если – вполне упорядоченное множество и – его подмножество с индуцированным порядком, то (возможно и равенство, даже если подмножество собственное).

Ординал называется предельным, если нет ординала, строго ему предшествующего, т. е. . Первый предельный ординал это – порядковый тип множества натуральных чисел (его предельность может быть описана так: нет наибольшего натурального числа).

4.2. Определим сложение ординалов. Пусть и – ординалы. Положим (порядок на объединении упорядоченных множеств такой же, как в примере 5 п. 3.1). Это определение корректно, то есть не зависит от того, каких представителей мы взяли.

Сумма ординалов ассоциативна , но некоммутативна: 6.

Если Ш (порядковый тип пустого множества), то .

Сумма возрастает при росте второго аргумента: если , то .

Сумма неубывает при росте первого аргумента: если , то .

Ординал – ординал, строго следующий за . То есть наименьший ординал, больший . Это может быть выражено формулой .

Имеет место «вычитание слева»: если , то существует единственный ординал для которого .

4.3 Определим умножение ординалов. Пусть и – ординалы. Положим (порядок на прямом произведении упорядоченных множеств – лексикографический, пример 6 п. 3.1). Это определение корректно, то есть не зависит от того, каких представителей мы взяли.

Произведение ординалов ассоциативно , но некоммутативно: 7.

, .

Имеет место «правая дистрибутивность8»:

Произведение возрастает при росте второго аргумента: если , то .

Произведение неубывает при росте первого аргумента: если , то .

Имеет место «деление с остатком»: для любых ординалов и существуют и единственны ординалы и , для которых .