Операции на множестве ординальных чисел (стр. 5 )

4.4. Определим возведение в степень для ординалов. Пусть и – ординалы. Множество (пример 5 п. 3.3) является вполне упорядоченным9. Положим . Это определение корректно, то есть не зависит от того, каких представителей мы взяли.

Возведение в степень ассоциативно .

Имеет место «правая дистрибутивность»:

,

Степень возрастает при росте второго аргумента: если , то .

Сумма неубывает при росте первого аргумента: если , то .

5. Одно приложение

Утверждение. Существует множество точек на плоскости, которое пересекается  с любой прямой ровно по двум точкам.

Доказательство. Пусть – минимальный ординал мощности континуум (такой ординал существует как наименьший во множестве ординалов мощности континуум). Множество прямых на плоскости имеет мощность континуума (действительно, любую прямую можно задать тремя числами в некоторой системе координат как ). Занумеруем наши прямые ординалами, меньшими , то есть выберем (по аксиоме выбора) биекцию (здесь мы неявно используем интерпретацию ординала как объединения всех ординалов, меньших его). Итак, .

Построим индуктивно такое строго возрастающее семейство подмножеств плоскости, что никакое не содержит трех точек, лежащих на одной прямой и пересекается с прямой ровно по двум точкам.

База индукции. В качестве можно взять двухточечное множество.

Шаг индукции. Допустим, мы построили такие множества для всех . Положим . Если это множество содержит три точки , лежащие на одной прямой, то эти точки принадлежат каким-то множествам , и (не все три ординала равны друг другу). Но в этом случае множество содержит три точки лежащие на одной прямой – противоречие предположению индукции. Если пересекает прямую ровно в двух точках, то положим . Если нет, то надо добавить в точки, но только так, чтобы они не попали на прямые (). Мощность множества таких прямых меньше мощности континуума, поэтому точек их пересечения с прямой так же меньше мощности континуума, а на самой прямой – континуум точек. Таким образом мы можем добавить в недостающие одну или две точки и получить с нужными свойствами.

Искомое множество .

Литература.

[1] , А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. (c1) Часть 1. Начала теории множеств. 4-е изд., доп., М: МЦНМО, 2012, 112 с.

http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part1-2.pdf

1 Порядок должен содержать все пары , , , что кратко записано как

2 Оба множества с естественным нестрогим порядком

3

4 Класс линейно упорядоченного фундированного множества обозначается .

5 Однако, нельзя говорить о «множестве всех ординалов» – ординалы не образуют множества.

6 Действительно, представителем является натуральный ряд, к которому добавили наименьший элемент (обозначим его ) . Но множество изоморфно натуральному ряду – изоморфизм задается отображением для которого , . Представителем же является натуральный ряд, к которому добавили наибольший элемент.

7 Действительно, представителем являются две копии натурального ряда – множество пар . Построим отображение так: и . Ясно, что в случае имеем   и . Таким образом, .

Но   благодаря монотонности суммы по второму аргументу.

8 «Левая дистрибутивность» имеет место далеко не всегда:

9 Заметим, что для этого достаточно только полной упорядоченности множества , природа множества никакой роли не играет.