Модуль 1 (стр. 5 )

Пример 11. Вычислить площадь, ограниченную

линиями  y = sin x,  y = 0, x = –/2,  x = .

SD  = –sin x dx  +  sin x dx  = 

=  cos x|0-π./2  +  cos x|0π  = 3

Если криволинейная трапеция задана в параметрической форме:

x = x(t) , y = y(t), t   ,  x() = a, x() = b  (a < b) , y = 0  , то переход к новым переменным дает  SD =  y(t) x`t dt 

Пример 12.  Вычислить площадь эллипса:  x = a cos t,  y = b sin t,  0 t 2.

Тогда  x`t = –a sin t  и  SD = 4absin2t dt  =

  = 2ab(1 – cos 2t)dt  = ab.

В том случае, если криволинейная трапеция

прилежит к оси  Оу  ( x = x(y), c ≤ y ≤ d ),

то ее площадь определяется интегралом 

  S = x(y) dy 

Вычисление объема тела вращения.

Криволинейную трапецию, ограниченную неотрицательной функцией  y = f(x)  на  [a, b]  вращаем вокруг оси  Ох  и получаем цилиндрическое тело вращения, объем которого вычисляется по формуле

  V =  f2(x) dx

Пример 13. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: y = - x2 + 4, 2x + y – 4 = 0

Площадь этой фигуры вычислялась в примере 10 и складывалась из разности площадей двух криволинейных трапеций. Соответственно, объем тела вращения можно представить как разность объемов образованных вращением этих двух криволинейных трапеций

V = V1 – V2  = dx = 

=   куб. ед.

Пример 14.  Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями:  y = - x2 + 8 , y = x2 .

Решение. 1) Вычислим точки пересечения линий:

x2 = 4,  (-2;4), (2;4);  2) Начертим Рис.

3) Определим пределы интегрирования:  -2 x 2;

4)  Из объема тела образованного вращением верхней параболы удалим объема тела образованного вращением нижней параболы

V = V1 – V2  = {y12(x) – y22(x)} dx = {(8 – x2)2 – x4} dx =

  = (64x – 16x3/3) |-22 = 528/3