Модуль 1 (стр. 1 )

Модуль 1

1.  Методические указания к вычислению производных от функций одной переменной

Приведем правила дифференцирования:

,  2.,  3. 

а также таблицу производных основных элементарных функций:

Производная сложной функции вычисляется по правилу 

.

Задача 1. Найти производные следующих функций, используя правила дифференцирования и таблицу производных:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение. Используя правило дифференцирования суммы и таблицу производных, найдем:

а) ;

б)

;

в)

;

г) .

Задача 2. Найти производную функций:

а) ; б) .

Решение. По формуле получим

а)

;

б)

.

Задача 3. Найти производную функций:

а) ; б) ; в) .

Решение.  По формуле дифференцирования частного получим:

а)

;

б)

;

в)

.

Задача 4. Найти производную функции .

Решение. По формуле получим

.

Задача 5. Найти производную функции .

Решение. Данная функция является сложной, поэтому введем вспомогательную функцию , тогда можно записать , где .

По формуле дифференцирования сложной функции

найдем

.

Задача 6. Найти производную функции .

Решение. Введем вспомогательную функцию , тогда можно записать , где . По формуле найдем

.

Задача 7. Найти производную функции .

Решение. Введем вспомогательную функцию , тогда можно записать , где .

По формуле найдем

.

Задача 8. Найти производную функции .

Решение. Введем вспомогательную функцию , тогда можно записать , где .

По формуле найдем

.

Задача 9. Найти производную второго порядка функции

.

Решение. Последовательно дифференцируя функцию, получим

,

.

       Задача 10. Найти производные 2-го порядка от следующих функций:

а) ; б) .