Программа вступительного испытания по программе подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре

М и н о б р н а у к и  Р о с с и и

федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Мордовский государственный университет имени »

 

УТВЕРЖДАЮ

проректор по научной работе

ФГБОУ ВПО «МГУ им. »

_____________

____ _____________ 2016 г.

Программа вступительного испытания

по программе подготовки научно-педагогических кадров

в аспирантуре

Дифференциальные уравнения, динамические системы

и оптимальное управление

(специальная дисциплина)

Направление подготовки

01.06.01 Математика и механика

Саранск 2016

РАЗРАБОТАНО:

Профессор кафедры прикладной математики,

дифференциальных уравнений и теоретической механики

__________________

______ ___________ 2016 г.

СОГЛАСОВАНО:

Зав. кафедрой прикладной математики,

дифференциальных уравнений и теоретической механики

__________________

______ ___________ 2016 г.

Декан факультета математики

и информационных технологий

__________________

______ ___________ 2016 г.

Начальник управления подготовки

кадров высшей квалификации

__________________

______ ___________ 2016

Пояснительная записка

В соответствии с п. 5.3 Правил приема на обучение по программам подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный университет им. » программа вступительного экзамена в аспирантуру по направлению 01.06.01 Математика и механика (профиль «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление») составлена на основе ФГОС по направлениям подготовки в магистратуре 01.04.02 Прикладная математика и информатика (утвержден Приказом Министерства образования и науки РФ ).

Поступающий в аспирантуру по направлению 01.06.01 Математика и механика (профиль «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление») должен

Знать: основные понятия, утверждения, проблемы и классические постановки задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений и динамических систем. Уметь: определять тип обыкновенного дифференциального уравнения и постановку задачи для него, ставить задачу об исследовании системы на устойчивость. Владеть: основными приемами и методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и краевых задач для них, основными приемами исследования динамических систем на устойчивость. Иметь представление: о задаче оптимального управления, принципе максимума Понтрягина и его приложениях, о задаче синтеза управления.

Экзаменационный билет на вступительном испытании для данного направления и профиля подготовки содержит три вопроса.

Критерии оценки знаний поступающего в аспирантуру

Оценка «отлично» выставляется, если поступающий логически верно, в полном объеме и без ошибок раскрыл содержание всех вопросов, предложенных ему в рамках вступительного испытания, привел необходимые доказательства утверждений и главные выводы, вытекающие из утверждений, составляющих основное содержание предложенных вопросов. Оценка «хорошо» выставляется, если поступающий логически верно, в полном объеме и без ошибок раскрыл содержание всех вопросов, предложенных ему в рамках вступительного испытания. При ответе допускаются отдельные неточности, не влияющие на основное его содержание, часть необходимых доказательств и выводов может быть пропущена. Оценка «удовлетворительно» выставляется, если раскрыто основное содержание вопросов, предложенных в рамках вступительного испытания. Допускаются логические ошибки, неточности, не влияющие на основное содержание вопросов; также допустимо отсутствие доказательств приводимых утверждений. Оценка «неудовлетворительно» выставляется, если содержание всех или большей части вопросов, предложенных на вступительном испытании, не раскрыто или раскрыто с грубыми ошибками, существенно искажающими смысл ответа. Доказательства приводимых утверждений в ответе отсутствуют или приводятся с грубыми ошибками.

Содержание программы

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Гладкость решения задачи Коши по начальным данным и параметрам, входящим в правые части системы уравнений. Продолжение решения. Краевая задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи. Общая теория линейных уравнений и систем (область существования решения, фундаментальная матрица Коши, формула Лиувилля – Остроградского, метод вариации постоянных и др.). Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Теорема существования и единственности решения при условиях Каратеодори. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с комплексными аргументами. Доказательство теоремы существования и единственности аналитического решения методом мажорант.

Динамические системы. Динамические системы в метрическом пространстве, банаховом пространстве. Устойчивость по Ляпунову. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Устойчивость линейных однородных систем. Устойчивость систем с однородными правыми частями. Устойчивость по первому приближению. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях. Теоремы Малкина, Красовского. Устойчивость по отношению к части фазовых переменных. Устойчивость инвариантных множеств. Критерии устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову инвариантного множества в линейном нормированном пространстве. Устойчивость систем по Лагранжу. Необходимые и достаточные условия устойчивости систем по Лагранжу.

Оптимальное управление. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина (без доказательства), приложение к задачам быстродействия для линейных систем. Задачи стабилизации управляемых движений. Второй метод Ляпунова для задач об оптимальной стабилизации. Синтез управления для линейных управляемых систем. Синтез управлений в квазилинейных системах и системах стабилизации.

Перечень вопросов к вступительным испытаниям

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Гладкость решения задачи Коши по начальным данным и параметрам, входящим в правые части системы уравнений. Продолжение решения. Краевая задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи. Общая теория линейных уравнений и систем: область существования решения, фундаментальная матрица, формула Лиувилля – Остроградского. Метод вариации постоянных в теории линейных уравнений и систем. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Теорема существования и единственности решения при условиях Каратеодори. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с комплексными аргументами. Доказательство теоремы существования и единственности аналитического решения методом мажорант. Динамические системы в метрическом и банаховом пространствах. Устойчивость по Ляпунову. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Устойчивость линейных однородных систем. Устойчивость систем с однородными правыми частями. Устойчивость по первому приближению. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях. Теоремы Малкина, Красовского. Устойчивость по отношению к части фазовых переменных. Устойчивость инвариантных множеств. Критерии устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову инвариантного множества в линейном нормированном пространстве (без доказательства). Устойчивость систем по Лагранжу. Необходимые и достаточные условия устойчивости систем по Лагранжу. 3адачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина (без доказательства). Приложение принципа максимума Понтрягина к задачам быстродействия для линейных систем. 3адачи стабилизации управляемых движений. Второй метод Ляпунова для задач об оптимальной стабилизации. Синтез управления для линейных управляемых систем. Синтез управлений в квазилинейных системах, системах стабилизации.

Рекомендуемая литература

Арнольд дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971г. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972 г. Понтрягин дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1998г. , , Мищенко теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1963 г. , , Свешников уравнения. М.: Наука, 1985 г. ифференциальные уравнения. Издательство иностранной литературы, М.; 1962 г. Федорюк дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980 г. Филиппов уравнения с разрывной правой частью. М.: Издательство физ.-мат. литературы, 1985 г.