Структуры и алгоритмы компьютерной обработки данных (стр. 6 )

Рис. 1.16.

Произведение графов и определяется следующим образом. Множеством вершин графа является декартово произведение множеств и , то есть вершины этого графа - упорядоченные пары , где - вершина первого сомножителя, - вершина второго. Вершины и в смежны тогда и только тогда, если и смежна с в графе , или и смежна с в графе . С помощью операции произведения можно выразить некоторые важные графы через простейшие. Например, произведение двух цепей дает прямоугольную решетку (см. рис. 1.17). Если один из сомножителей превратить в цикл, добавив одно ребро, то прямоугольная решетка превратится в цилиндрическую, а если и второй сомножитель превратить в цикл, то получится тороидальная решетка.

Рис. 1.17.

Другой пример - - мерный куб , определяемый следующим образом. Вершинами его являются всевозможные упорядоченные двоичные наборы длины . Всего, таким образом, в этом графе вершин. Вершины и смежны в нем тогда и только тогда, когда наборы и различаются точно в одной координате. С помощью операции произведения граф можно определить рекурсивно:

На рис. 1.18 показано, как получается из .

Рис. 1.18.

Лекция 2. Поиск в глубину и ширину.

Поиск в ширину

С этой лекции мы начинаем рассматривать алгоритмы для решения различных задач на графах. Сначала речь пойдет о задачах анализа графов с целью выявления их структуры и вычисления метрических характеристик. Многие задачи такого рода могут быть решены путем систематического обхода графа с посещением всех его вершин и исследованием всех его ребер. Такой обход можно выполнить многими способами, в действительности же широкое распространение благодаря своей простоте, а в большей степени своей полезности, получили две стратегии - поиск в глубину и поиск в ширину. Рассмотрение этих алгоритмов и примеров их применения к задачам анализа графов составляет содержание этой и двух следующих лекций.

Процедура поиска в ширину

Работа всякого алгоритма обхода состоит в последовательном посещении вершин и исследовании ребер. Какие именно действия выполняются при посещении вершины и исследовании ребра - зависит от конкретной задачи, для решения которой производится обход. В любом случае, однако, факт посещения вершины запоминается, так что с момента посещения и до конца работы алгоритма она считается посещенной. Вершину, которая еще не посещена, будем называть новой. В результате посещения вершина становится открытой и остается такой, пока не будут исследованы все инцидентные ей ребра. После этого она превращается в закрытую.

Идея поиска в ширину состоит в том, чтобы посещать вершины в порядке их удаленности от некоторой заранее выбранной или указанной стартовой вершины . Иначе говоря, сначала посещается сама вершина , затем все вершины, смежные с , то есть находящиеся от нее на расстоянии , затем вершины, находящиеся от на расстоянии , и т. д.

Рассмотрим алгоритм поиска в ширину с заданной стартовой вершиной . Вначале все вершины помечаются как новые. Первой посещается вершина , она становится единственной открытой вершиной. В дальнейшем каждый очередной шаг начинается с выбора некоторой открытой вершины . Эта вершина становится активной. Далее исследуются ребра, инцидентные активной вершине. Если такое ребро соединяет вершину с новой вершиной , то вершина посещается и превращается в открытую. Когда все ребра, инцидентные активной вершине, исследованы, она перестает быть активной и становится закрытой. После этого выбирается новая активная вершина, и описанные действия повторяются. Процесс заканчивается, когда множество открытых вершин становится пустым.

Основная особенность поиска в ширину, отличающая его от других способов обхода графов, состоит в том, что в качестве активной вершины выбирается та из открытых, которая была посещена раньше других. Именно этим обеспечивается главное свойство поиска в ширину: чем ближе вершина к старту, тем раньше она будет посещена. Для реализации такого правила выбора активной вершины удобно использовать для хранения множества открытых вершин очередь - когда новая вершина становится открытой, она добавляется в конец очереди, а активная выбирается в ее начале. Схематически процесс изменения статуса вершин изображен на рис. 2.1. Черным кружком обозначена активная вершина.

Рис. 2.1.

Опишем процедуру поиска в ширину (BFS - от английского названия этого алгоритма - Breadth First Search) из заданной стартовой вершины . В этом описании обозначает множество всех вершин, смежных с вершиной , - очередь открытых вершин. Предполагается, что при посещении вершины она помечается как посещенная и эта пометка означает, что вершина уже не является новой.

Procedure BFS(a)

посетить вершину while do for do исследовать ребро if вершина новая then посетить вершину

Отметим некоторые свойства процедуры BFS.