План исследования (стр. 1 )

План исследования

1.  Магический квадрат. История возникновения магических квадратов.

2.  Свойства квадрата третьего порядка.

3.  Квадрат Дюрера и его свойства.

4.  Две основные задачи, связанные с магическими квадратами: найти общий метод их  построения и описать все возможные магические квадраты.

5.  Как построить магический квадрат. Способы построения магических квадратов.

Построение магического квадрата нечётного порядка. Метод Баше. (XVII в.). Построение магического квадрата чётного порядка. (Разработал Пьер де Ферма.). Способы построения магического квадрата любого чётного порядка:

чётно-чётного. (Метод Раус-Бола). чётно-нечётного. (Диагональный метод, три способа перестановок чисел в клетках).

5.  Проблема решения второй задачи – описать все возможные магические квадраты.

6.  Другие магические фигуры.

Из глубины веков

Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Как только их не называли! «Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими – магическими», - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные и непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множество тайн… Знакомьтесь: магические квадраты – удивительные представители воображаемого мира чисел.

Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером nЧn, заполненная натуральными числами от 1 до п2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты чётного и нечётного порядка (в зависимости от чётности п).

Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае. Самый «старый» из дошедших до нас магический квадрат – таблица Ло шу (около 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3Ч3 и заполнена числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

       Согласно одной из легенд, прообразом Ло шу стал узор из связанных чёрных и белых точек, украшавший панцирь огромной черепахи. (См. рисунок). Жители Поднебесной считали таблицу Ло шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.

Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На Востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях.

Магический квадрат 4-го порядка, был известен ещё древним индусам. Он интересен тем, что сохраняет свойство быть магическим после последовательной перестановки строк (столбцов).

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и поэтому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий. К удивительным квадратам проявляли интерес и средневековые арабские математики. Древние греки были знакомы с простейшим (3-го порядка) магическим квадратом.

В Средневековой Европе, как и на Востоке, магическим квадратам часто приписывали различные мистические свойства. В начале XVI в. немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на гравюре «Меланхолия».

Квадрат Дюрера имеет  размер 4Ч4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34.

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

  Оказывается, 34 равны и суммы других четвёрок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата, а также образующих четыре равные квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат. А вот числа 15 и 14 в нижней строке квадрата указывают дату создания гравюры – 1514 г.

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Гравюра Альбрехта Дюрера «Меланхолия»

В середине XVI в. в Европе появились первые сочинения, в которых квадраты предстали в качестве объектов математического исследования. Так было положено начало их новой жизни. Математики стремились решить две основные задачи, связанные с магическими квадратами: найти общий метод построения и описать все возможные магические квадраты. Остановимся подробнее на методах построения.

Поиском способов составления магических квадратов занимались в разное время многие математики. Основы математической теории построения математических квадратов были заложены французскими учёными в XVII в. Позже она стала излюбленной темой исследований многих авторов. И хотя для каждого квадрата были найдены свои способы решения задачи, пока неизвестен общий метод построения, пригодный для квадратов любого порядка. Известные на сегодня правила построения таких квадратов делятся на три группы в зависимости от порядка квадрата. Рассмотрим несколько способов построения магических квадратов.

Построение магического квадрата нечётного порядка.

Метод Баше был известен ещё древним индусам и не раз открывался заново. Французский математик Баше де Мезириак открыл этот метод ещё в XVII в. Рассмотрим на примере построения магического квадрата 5-го порядка.

Все натуральные числа от 1 до 25 запишем в клетках по диагонали (по 5 в ряд) так, чтобы получился диагональный квадрат.

1
6	2
11	7	3
16	12	8	4
21	17	13	9	5
22	18	14	10
23	19	15
24	20
25

       

Выделим в центре квадрат размером 5Ч5. Он и составит основу будущего магического квадрата.

1
6	2
11	7	3
16	12	8	4
21	17	13	9	5
2	18	14	10
23	19	15
24	20
25

Каждое число, находящееся вне центрального квадрата, перенесём внутрь – к его противоположной стороне, сдвигаясь при этом на 5 клеток.

Магический квадрат готов

11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15

Построение магического квадрата чётного порядка.

  Рассмотрим на примере магического квадрата 8-го порядка, составленного из натуральных чисел от 1 до 64.

Метод включает следующие шаги.

Разделим исходный квадрат на квадраты 4-го порядка. В каждом из них закрасим все клетки, лежащие на обеих диагоналях

Заполним клетки построчно данными числами, двигаясь слева направо и сверху вниз, пропуская при этом те из них, что соответствуют закрашенным клеткам.