О множественном подходе к описанию фундаментальных объектов

О множественном подходе к описанию фундаментальных объектов

© , 1, 2014

В статье описывается построение симметричного вида уравнений Максвелла для увеличенной размерности пространства-времени. Получены уравнения фундаментальных объектов. Показано, что для описания фундаментальных объектов можно использовать линейные дифференциальные уравнения первого, второго и более высоких порядков, получаемые путем взятия вариаций первого, второго и более высоких порядков от функционала действия. Таким образом, один и тот же объект можно описать дифференциальными линейными уравнениями разных порядков, а поведение – будет определяться ориентацией объекта по отношению к наблюдаемому пространству-времени .

Evgenij Rudikov; Lada Rudikova. On multiple approach to the description of fundamental objects. The article describes assembly of a symmetric form of the Maxwell equation for the enlarged dimensionality of space-time. Equations of fundamental objects have been obtained. It was shown that linear differential equations of the first, second and higher orders obtained by means of taking of variations of the first, second and higher orders of action functional can be used for description of fundamental objects. Hence, one and the same object can be described by differential linear equations of different orders and the behavior will be determined through orientation of the object towards the observed space-time .

Введение

В настоящее время наблюдается значительный интерес к рассмотрению различных теоретических аспектов, связанных с построением теории объединяющих фундаментальные взаимодействий. Наиболее перспективными среди них, в настоящее время, являются теории суперструн и М-теории (так называемые, теории дуальности). Как правило, все единые теории в настоящее время используют многомерное пространство-время.

Предлагаемая статья посвящена построению обобщающей теории, в которой в качестве объемлющего пространства-времени выбрано (с тремя пространственными и тремя временными измерениями).

Определенные выкладки позволяют рассматривать предлагаемый подход как теорию дуальности с 12-мерным объемлющим фазовым пространством вида (или ). Под (или ) понимается координатное пространство, под (или ) – импульсное пространство. На данном фазовом пространстве действует наиболее общая группа преобразований На пространстве () действует группа пространственно-временных преобразований . На импульсном пространстве () действует группа преобразований (калибровочная группа) импульсного пространства . В работе [1] был определен функциональный ряд действия, который положен в основу предлагаемого подхода. В отличие от большинства теорий суперструн, предлагаемый подход не является изначально релятивиско-инвариантным и сформулирован в безразмерном виде. Кроме того, объемлющее пространство-время изначально может не быть метрическим. Первый линейный член ряда ((16) в [1]) определяет фундаментальные объекты материи. Показано, что фундаментальные объекты могут быть определены тремя уравнениями. Первое уравнение выражает законы сохранения в наиболее общем виде. Второе – представляет собой динамическое уравнение, третье (тождество Бьянки) – представляет уравнения поля. Заметим, что третье уравнение является шестимерным обобщением уравнений Максвелла. В проекции на пространство (лист) получаются уравнения, которые могут описывать: векторное поле (фотоны), фермионное с зарядом (заряженные лептоны), фермионное без заряда (нейтринное), скалярное. Отметим, что впервые симметричная электродинамика была описана австрийским математиком Р. Фютером в 30-х годах XX века [2]. Результаты, полученные Р. Фютером, были представлены в кватернионом виде. Этот результат вполне очевиден, т. к. . Вместо шестимерного пространства-времени может быть рассмотрено комплексное пространство трех измерений с группой, на котором действует группа преобразований . Ясно также, что оба представления эквивалентны.

       В предлагаемой статье рассматривается альтернативный подход к построению симметричной электродинамики в пространстве и выдвигается предположение, позволяющее интерпретировать взаимодействие точечных зарядов как взаимодействие токов, текущих во времени, а также предложить гипотезу, объясняющую ненаблюдаемость магнитных зарядов. С математической точки зрения рассмотренное фазовое пространство является пространством петель. Самый простой объект пространства – двумерная петля – является фундаментальным объектом, лежащим в основе материи и самого пространства-времени.

Некоторые замечания о законах сохранения

В работе [1] был введен функциональный ряд действия, первый член которого описывает фундаментальные объекты материи (токовые кольца). Запишем функциональный интеграл в дуальном виде:

               (1)

где – координаты (протяженности), , – импульсы, – постоянная тонкой структуры, – квант действия для материи (постоянная Планка), – квант действия для вакуума. Член описывает вакуум. Член описывает фундаментальные объекты материи. Формально данные интегралы подобны. Фундаментальные объекты материи отличаются от вакуума значениями энергии-импульса и моментом количества движения. Легко видно, что функциональный интеграл (1) приводится к следующему виду:

               (2)

где записывается в виде:

               (3а)

либо в виде:

               (3б)

где – масштабный множитель. В выражение (3а)

               (4)

соответствует калибровочным потенциалам.

Выражения назовем фундаментальным тензором фазового пространства вакуума, а выражение – фундаментальным тензором фазового пространства фундаментального объекта материи. дифференциальный оператор:

               (5)

где сделана замена , назовем оператором расширенной производной. В самом общем случае можно не разделять вакуум и фундаментальные объекты материи:

               (6)

Из представления функционального интеграла в дуальной формулировке (2) непосредственно следует закон сохранения, который формально представим в виде:

               (7)

(7) вытекает из требования инвариантности (6) при всевозможных преобразованиях. Инвариантность означает также, что выполнено условие , где некоторая константа. Всегда можно положить данную константу равной нулю:

               (8)

тогда условие (7) будет следствием условия инвариантности условия (8). Проведя в (6) интегрирования по частям и учитывая данное условие, можно определить вид функции , которая равна сумме диагональных элементов фундаментального тензора . Закон сохранения (8), можно интерпретировать как закон сохранения действия. В таком подходе принцип наименьшего действия имеет вид и является обобщением (8). В работе [3] было показано, что требование (8) налагает определенные условия на компоненты протяженности и заряды фундаментального объекта. Для двумерного объекта отношения временных и пространственных величин должны быть следующим:

       , или , ,        (9)

или же, наоборот, вследствие симметрии

Учитывая разложение фундаментального тензора:

               (10)

где  , – преобразования растяжения сжатия координатного и импульсного пространств,  , – преобразования вращения координатного и импульсного пространств, , – преобразования сдвига координатного и импульсного пространств.

Законы сохранения заряда обусловлены членом :

       .        (11)

Законы сохранения момента количества движения обусловлены членом

       .        (12)

Законы сохранения энергии-импульса обусловлены членом :

               (13)

С учетом (11), (12) и (13), закон сохранения (7) представим в виде:

               (14)

В [1] было показано, что, при условии однородного и изотропного пространства-времени с размерностью , имеют место независимое выполнение трех законов: сохранения заряда , момента количества движения , энергии-импульса . При нарушении условий однородности и изотропности пространства-времени, а также при других размерностях пространства-времени данные законы сохранения не имеют места. В последнем случае выполняется лишь закон сохранения действия (8) и уравнение (14), что проверяемо экспериментально [4].

Динамические уравнения

Рассмотрим вариацию от выражения (2):

               (15)

Заметим, что при вычислении вариации использованы расширенные производные, например, . Поверхностных члены и в силу выполнения законов сохранения (7). Отбрасывая поверхностные члены, в (15) получим:

       .

Из последнего следуют динамические уравнения фундаментального объекта с параметрами (9):

               (16)

Расписывая подробно расширенные производные, получим уравнение:

               (17)

(16) можно преобразовать к виду:

       .        (18)

В уравнении (18) введены тензоры кручения (импульсного) и координатного пространства [5]:

       ,        (19а)

и координатного пространства:

       .        (19б)

Определим также симметричный тензор:

               (19в)

Заметим, что константа не входит в динамические уравнения фундаментального объекта и появляется лишь при взаимодействии фундаментальных объектов. Уравнения (7) и (18) обобщают как уравнения классической, так и уравнения квантовой механики. При введении шестимерного вектора заряда:

               (20)

уравнение (18) запишется в виде:

       .        (21)

Заметим, что член эквивалентен силе инерции в динамических уравнениях Ньютона, член эквивалентен реактивной силе (обусловлен изменениями компонент заряда), а член обусловлен связностью. Величины , стоящие в скобках, интерпретируются как напряженности полей.

Решениями уравнения (21) будут некоторые кривые в шестимерном пространстве-времени, имеющие определенные пространственно-временные протяженности. . Отметим, что в силу дуальности импульсного и координатных пространств также будем иметь некоторое решение в импульсном (зарядовом) пространстве: . Для невзаимодействующего фундаментального объекта данные кривые отождествляются с самим фундаментальным объектом.

При квантово-механическом подходе определяется непосредственно либо функция , либо функция . Фундаментальный тензор был определен как или , причем, полагалось, что и – шестимерные векторы. Фундаментальный тензор можно разложить на симметричную и антисимметричную части, которые, в свою очередь, также можно представить в виде произведения некоторых величин, например:

       .        (22)

Для элементов справедливо тождество:

               (23а)

а для элементов – тождество:

               (23б)

Величины и интерпретируются как бозонные и фермионные волновые функции. Функцию в общем случае можно определить как:

       .

Отметим, что переход от классической к квантовой механики при излагаемом подходе обусловлен масштабным фактором. Учитывая свойства наблюдателя и экспериментальных приборов, действие (6) запишем в виде:

               (24)

Можно определить следующие матрицы. – матрица, которая задает переход от масштабов прибора к масштабам наблюдателя; – матрица, которая задает переход от масштабов фундаментального объекта к масштабам прибора.

Если пренебречь взаимодействия фундаментального объекта, то в (24) , и действие сводится к виду:

               (25)

Таким образом, предельному переходу (в квантовой механике) будет соответствовать предельный переход (в предлагаемом подходе) и, наоборот, предельному переходу – соответствует предельный переход .

Уравнения Максвелла в пространстве

Итак, для описания фундаментального объекта получены уравнения (7) и (16). (7) описывает законы сохранения, а (16) представляет динамические уравнения. На основании уравнения (16) можно также записать:

               (26)

Уравнение (25) представляет собой тождество Бьянки. Перепишем уравнение (16) в виде:

       ,        (27)

где:

       ,        (28)

               (29).

Из (24) следует:

       .        (30)

На основании последнего выражения с учетом (5) получим следующие уравнения.

1) для случая ():

       ,        (31)

2) для двух совпадающих индексов:

       .        (32)

Учитывая, что , , , уравнение (28) приводится к виду:

       .        (33)

Фундаментальный тензор можно представить как:

               (34)

Учитывая знаки компонент фундаментального тензора, уравнение (32) запишется в виде:

               (35)

где – возможные знаки.

При условии уравнение (33) примет вид:

        или .        (36)

Записав (35) в виде:

       ,        (37)

и учитывая:

       ,        (38)

получим две пары уравнений Максвелла.

Выберем в качестве тензора поля (тензора сил):

               (39)

Представим (39) в виде суммы двух тензоров:

       (40)

Заметим, что в (40) знаки у компонент тензора поля и фундаментального тензора выбраны произвольно, что не играет существенной роли, т. к. знаки фундаментального тензора определяются максимально возможной симметрией фазового пространства . Тензор содержит только вихревые поля, тензор – только кулоновские компоненты. Подставляя компоненты в уравнение (37), получим:

1) , , или , ;        (41а)

2) , , или , ;        (41б)

3) , , или , ;        (41в)

где операторы дифференцирования и имеют вид:

       ,        (42).

Итак, исходя из приведенных вычислений, можно сделать вывод о том, что, вообще говоря, в шестимерном пространстве-времени кулоновские компоненты также имеют вихревой характер. Пространственно-подобные и времени-подобные кулоновские компоненты связаны между собой соотношением: .

Подставляя компоненты в уравнение (35), получим:

       ,        (43а)

       ,        (43б)

где

,

.

Подставим в (38) компоненты , получим:

        и ,        (44)

далее, в (38) подставляем компоненты  тензора:

       

               (45а)

       

       

               (45б)

       

Первые три соотношения (45а) можно объединить в уравнение:

       ,

или, переходя к времениподобным ортам:

       .

Вторые три соотношения (45б) объединяются в уравнение:

       .

В условиях вырождения трех временных осей в одну (вследствие сильных взаимодействий) будем иметь:

       ,

       ,

или

       ,

где – плотность тока.

Полученные уравнения подобны второй паре уравнений Максвелла. Следует заметить, что похожий результат можно получить в условиях сильной анизотропии временных осей, т. е. когда отношения и являются очень большими числами.

Оновные выводы

Таким образом, в шестимерном пространстве-времени имеет место одно уравнение (26), из которого следуют обе пары уравнений Максвелла. Полученные уравнения описывают поле, подобное электромагнитному, – нейтринное поле и поле заряженных частиц. Практически, это одно и тоже поле, состоящее из одних и тех же фундаментальных объектов. Тип объекта определяется его проекцией на часть четырехмерного пространства-времени с наблюдателем (рисунок 1). Фундаментальные объекты взаимодействуют друг с другом по закону взаимодействия параллельных токов.

Рис. 1. Рисунок, показывающий тип наблюдаемого объекта в зависимости о его ориентации, и структуру фундаментальных объектов

Приведенные уравнения показывают, что фундаментальные объекты (токовые кольца) представляют вихревые структуры в шестимерном пространстве-времени. Уравнения (7), (16) и (26) описывают один и тот же объект. Уравнение (7) (законы сохранения) есть первая вариация функционала действия. Уравнения (16) (динамические) есть вторая вариация функционала действия. Уравнения поля (26) есть третья вариация функционала действия. Таким образом, в шестимерном пространстве-времени взаимодействие зарядов можно представить как взаимодействие временных токовых компонент (рисунок 2). Взаимодействие пространственных компонент объясняют принцип запрета Паули (рисунок 3).

Рис. 2. Взаимодействие зарядов (временных токов)

Рис. 3. Взаимодействие спинов (пространственных токов)

Природу фундаментального объекта с зарядом схематично можно представить (рисунок 4) как колебания токовых колец между двумя предельными циклами. Характеристики предельных циклов следуют из условия обращения в нуль функционала (1) и (6).

Рис. 4. Природа фундаментального объекта с зарядом (предельные циклы, соответственно протяженность пространственной и временной петель)

Заметим, что для формулировки электродинамики в шестимерном пространстве-времени нет необходимости вводить понятие метрики. Фундаментальный тензор, используемый в предлагаемой теории, связан с дуальностью координатного и импульсного пространства, а метрика возникает как результат взаимодействия фундаментальных объектов.

Отметим, что полученная система уравнений Максвелла симметрична относительно преобразований (в проекции на четырехмерный лист). При данной симметрии в проекции на четырехмерный лист происходит смена заряда.

Итак, система уравнений Максвелла в шестимерном пространстве-времени сводится к одному уравнению и обладает следующими достоинствами: симметрична относительно электрических и магнитных зарядов, предполагает интерпретацию, объясняющую ненаблюдаемость магнитных зарядов, а также симметрична относительно замены напряженности полей токами, и, наоборот.

литература

1. Rudikov, E. V. One Approach to the Problem of Fundamental Interactions / E. V.Rudikov, L. V.Rudikova / Proceeding of the Natural Philosophy Alliance // 16th Annual Conference of the NPA, 25-29 May, 2009, at the University of Connecticut, Storrs, USA. – Storrs, 2009. – Vol.6, No. 1. – P.173-181.

2. Fueter, R. Symmetric electrodynamics / R. Fueter // Comm. Math. Hel. – 1934-1935. – V. B7. – P. 307-330.

3. Rudikov E. V. Link of Physical Constants with Space Geometry / E. V. Rudikov, L. V. Rudikova // 2011, 18th Natural Philosophy Alliance Conference, University of Maryland College Park, MD, United States, July 6 – 9, 2011. – Published by Space Time Analyses, Ltd., 141 Rhinecliff Street, Arlington, MA 02476-7331, United States. – Long Beach, 2011. – Vol.8. – Pp.481-485.

4. Rudikov, E. V. Asymmetric Electrodynamic System: Displacement Opportunities / E. V.Rudikov, L. V.Rudikova / Proceeding of the Natural Philosophy Alliance // 17th Annual Conference of the NPA, 23-26 June, 2010,at California State University Long Beach 2010, USA. – – Published by Space Time Analyses, Ltd., 141 Rhinecliff Street, Arlington, MA 02476-7331, USA. – Long Beach, 2010. – Vol.7, No. 2. – P.761-765.

5. Дубровин, геометрия // , , .– М.: Наука, 1979. – 760 с.

1 . Доцент, канд. физ.-мат. наук. Associate Professor, PhD of Physics and Mathematics Sciences. Учреждение образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы». 230003, Беларусь,  2. Educational Institution «Grodno State Yanka Kupala University». BELARUS, 230023 Grodno, ul. Ozheshko 22. Email: *****@***com.