Специальность 071800 (Мехатроника) (стр. 11 )

Если ПФ задана вектором, , то проверку на монотонность можно осуществить следующим образом: разделим вектор на две части и . Если отношение не выполнено, то ПФ не является монотонной. В противном случае каждый из векторов и делим на две части и проверяем отношение порядка и т. д.

Пример 6.2. а) . 1. Разбиваем вектор на две части и , . 2. Каждый из векторов и разбиваем на две части и сравниваем: и , , что неверно, и , . Функция немонотонная.

б) — монотонна, так как 1. , 2. и , 3. , , , .

Пример 6.3. Используя подходящие приемы, проверьте, являются ли монотонными следующие ПФ:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

Ответ. а) монотонна, б) монотонна, в) не монотонна, г) не монотонна.

Определение. ПФ называется самодвойственной, если для всех .

Из определения следует, что ПФ не является самодвойственной, если найдется такой набор , что . При векторном задании ПФ самодвойственность или несамодвойственность очевидны: ПФ самодвойственна, если вектор антисимметричен относительно своей середины , и несамодвойственна в противном случае.

Пример 6.4. самодвойственна, а несамодвойственна, так как . Самодвойственной будет и уже знакомая нам ПФ . Докажите это самостоятельно а) записав ее векторно, б) построив ПФ и убедившись, что .

Американским математиком Э. Постом (1897-1954) доказана следующая

Теорема (критерий полноты). Для полноты системы ПФ необходимо и достаточно, чтобы для каждого из классов в нашлась ПФ , не принадлежащая этому классу.

Пример 6.5. Проверьте, является ли функционально полной система . В случае полноты выясните, является ли она базисом.

Решение. Составим таблицу, в которой будем отмечать “непринадлежность” ПФ классам, указанным в теореме Поста.

Таблица 6.1. Принадлежность ПФ замкнутым классам

	-	-	-	-	+
0	+	+	-	+	-

1. ПФ .

Найдем для нее полином Жегалкина. Это можно сделать методом неопределенных коэффициентов, а можно непосредственно переписывая отрицание и дизъюнкцию через операции алгебры Жегалкина:

ПФ не является линейной (есть ).

, а — это противоречит определению монотонности, следовательно, не является монотонной.

, т. е. не сохраняет 0.

, т. е. сохраняет 1.

, т. е. , значит, не является самодвойственной.

2. Функция .

линейная (нет конъюнкции).

монотонна, т. к. для всех .

, сохраняет 0.

, не сохраняет 1.

, не является самодвойственной.

По таблице видим, что для каждого из классов нашлась ПФ, ему не принадлежащая, значит ∑ – функционально полная система.