Спецкурс программы аспирантуры, полугодовой: Мера Хаара. Преподаватель: проф. . Аннотация курса: топологические пространства, топологические группы, компактные и локально компактные топологические пространства, топологические произведения, теорема Тихонова, объёмы и их свойства, построение меры Хаара, её свойства, единственность меры Хаара. Тематическое содержание курса:
Тема 1 | Топологические пространства, открытые множества, замкнутые множества, внутренние, внешние, граничные точки, точки соприкосновения, предельные точки. Система баз окрестностей точек. Примеры топологических пространств. |
Тема 2 | Последовательности точек топологического пространства. Хаусдорфово топологическое пространство. Топологические группы. Примеры топологических групп. |
Тема 3 | Компакты, компактные топологические пространства. Свойства компактов в хаусдорфовых топологических пространствах. Локально компактные топологические пространства. |
Тема 4 | Непрерывные отображения топологических пространств. Гомеоморфизмы топологических пространств. |
Тема 5 | Топологические произведения пространств. Примеры. Топологическое произведение хаусдорфовых пространств. |
Тема 6 | Теорема Тихонова о компактности произведения компактных топологических пространств. |
Тема 7 | Понятие о мере Хаара на топологической группе. Объём компактных множеств. Существование ненулевого инвариантного объёма на компактах в локально компактной топологической группе. |
Тема 8 | Объём на компактах и его свойства: монотонность, полуаддитивность, конечная аддитивность. |
Тема 9 | Внутренний объём и его свойства: монотонность, счетная полуаддитивность, счетная аддитивность, строгая положительность на непустых открытых множествах. |
Тема 10 | Кольцо множеств. Борелевские множества и их свойства. Внешняя мера. |
Тема 11 | Внешняя мера и ее свойства. Регулярные объёмы. Измеримые множества. Полные меры. |
Тема 12 | Измеримые множества и их мера. Регулярные борелевские меры. Мера Хаара. |
Тема 13 | Примеры меры Хаара. Примеры мер Хаара на действительной прямой и в конечномерных пространствах, на торе, на конечных подгруппах целых чисел и на их топологических произведениях. |
Тема 14 | Интеграл Лебега по мере Хаара и его свойства. Теорема Фубини. |
Тема 15 | Единственность меры Хаара с точностью до положительного множителя. |
Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки результатов обучения, характеризующих этапы формирования компетенций.
Вопросы к экзамену.
Определение топологического пространства. Классификация множеств и точек в нём. Базы окрестностей. Примеры. Хаусдорфовы топологические пространства и их свойства. Примеры. Топологические группы. Примеры топологических групп. Компактны и их свойства. Компактные и локально компактные топологические пространства. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы топологических пространств. Топологические произведения пространств. Примеры. Топологическое произведение хаусдорфовых пространств. Теорема Тихонова о компактности произведения компактных топологических пространств. Понятие о мере Хаара на топологической группе. Объём компактных множеств. Существование ненулевого инвариантного объёма на компактах в локально компактной топологической группе. Объём на компактах и его свойства: монотонность, полуаддитивность, конечная аддитивность. Внутренний объём и его свойства: монотонность, счетная полуаддитивность, счетная аддитивность, строгая положительность на непустых открытых множествах. Кольцо множеств. Борелевские множества и их свойства. Внешняя мера. Внешняя мера и ее свойства. Регулярные объёмы. Измеримые множества. Полные меры. Измеримые множества и их мера. Регулярные борелевские меры. Мера Хаара. Примеры меры Хаара. Примеры мер Хаара на действительной прямой и в конечномерных пространствах, на торе, на конечных подгруппах целых чисел и на их топологических произведениях. Интеграл Лебега по мере Хаара и его свойства. Теорема Фубини. Единственность меры Хаара с точностью до положительного множителя.
Примеры задач для самостоятельного решения.
Привести пример топологического пространства, которое не является хаусдорфовым. Описать все компакты дискретной группы. Пусть дано непрерывное отображение топологического пространства в топологическое пространство. Будет ли образом компакта компакт? Будет ли прообразом компакта компакт? Что такое ‘мера Хаара’? Привести примеры мер, которые не являются мерами Хаара. Указать меру Хаара на R\{0} c операцией умножения и обычной топологией. Указать меру Хаара на R c операцией умножения и обычной топологией.
Перечень основной и дополнительной учебной литературы:
бстрактный гармонический анализ. Т. 1. М., изд-во “Наука”, 1975. ведение в абстрактный гармонический анализ. М., ИЛ, 1956. Наймарк кольца. М., Гостехиздат, 1956. Понтрягин группы. М., Гостехиздат, 1954. , , Рубинштейн системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах. Баку, изд-во “Элм”, 1981.
Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»: www. mathnet. ru, http://lib. mexmat. ru.
Программа утверждена на заседании кафедры математического анализа
Протокол № 6 от 01.01.01 г.
