Механизм возникновения гармонических колебаний можно трактовать следующим образом. В момент запуска генератора в колебательном контуре могут возникать флюктуации токов и напряжений. Благодаря  ОС, часть энергии этих колебаний поступает на вход усилителя, усиливается и попадает в узкополосную резонансную систему, где происходит фильтрация частоты генерируемых колебаний.

В начальной стадии рассмотренный процесс приводит к монотонному увеличению амплитуды генерируемых колебаний. По мере  роста амплитуды колебаний выходные каскады усилителя переходят в режим насыщения, и она стабилизируется. В стационарном режиме работы автогенератора энергия, отбираемая из источника питания, расходуется на компенсацию потерь в колебательном контуре, цепи ОС и нагрузке.

Проведем анализ работы автогенератора гармонических колебаний и выясним методы отыскания частоты и амплитуды стационарных колебаний, а также условия его самовозбуждения.

2.2. Уравнение автогенератора

Пусть в качестве активного элемента в автогенераторе используется операционный усилитель.  На рис.2 представлена простейшая схема автогенератора на ОУ.

Рис.2

ОУ имеет две ветви обратной связи: отрицательная обратная связь (ООС), состоящая  из резисторов R1 и R2 и положительная обратная связь (ПОС), состоящая из резистора R3  и параллельного колебательного контура. Для упрощения анализа работы схемы будем полагать, что ОУ является идеальным: имеет бесконечно большой коэффициент усиления, входные сопротивления по обоим входам и нулевое выходное сопротивление. 

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Для узла, образуемого индуктивностью, емкостью, резистором R3, пренебрегая входным током ОУ со стороны неинвертирующего входа,  в соответствии с первым законам Кирхгофа, можно записать

IR=IC+IL.  (1)

Выразим эти токи через соответствующие напряжения:

.  (2)

Полагая, что UВЫХ/UВХ = K – коэффициент усиления ОУ, охваченного ООС, и дифференцируя (2) по времени, после несложных преобразований можно получить

  ,  (3)

где 2α =(1-К)/R3C - коэффициент затухания, а ω20=1/LC – собственная частота автогенератора. Уравнение (3) является основным дифференциальным уравнением, описывающим процессы, происходящие в автогенераторе. Его особенность состоит в том, что оно является нелинейным ввиду того, что коэффициент усиления К в общем случае является нелинейной функцией входного напряжения UВХ.

Для приближенного решения уравнения (3) будем предполагать, что амплитуды генерируемых колебаний малы и коэффициенты в уравнении (3) постоянны. Результат решения линеаризованного уравнения представляет собой гармоническое колебание с экспоненциальным амплитудным множителем:

  ,

где U(0) – начальный заряд емкости, ωР = – резонансная частота автогенератора. Характер амплитуды возникающих колебаний определяется коэффициентом затухания. Возможны три различных случая в зависимости от значения коэффициента затухания α:

α = 0,  К = 1 – генерируется гармоническое колебание с постоянной амплитудой; α < 0,  К > 1 – генерируемое колебание возрастает по амплитуде; α > 0,  К < 1 – генерируемое колебание убывает по амплитуде.

Проанализируем полученные решения и найдем необходимые условия самовозбуждения генератора. При отрицательном значении коэффициента затухания (случай 2) амплитуда  генерируемых колебаний возрастает и ОУ переходит в нелинейный режим работы. Это приведет с одной стороны к искажению формы колебаний (они будут отличаться от гармонических), с другой – к  стабилизации амплитуды колебаний и, фактически,  переходу к решению по случаю 1. Заметим, что при этом также не будет выполняться предположение о малости амплитуды генерируемых колебаний и постоянства коэффициентов в уравнении (3). Гармоническая форма колебаний генератора будет восстановлена после фильтрации гармоник в  высокодобротном колебательном контуре, для которого справедливо ωР≈ω0. Решение уравнения (3) по случаю 2 соответствует тому, что потери энергии генерируемых колебаний в системе меньше, чем количество энергии, поступающее в систему от источника питания. Поэтому сколь угодно малое возмущение в колебательном контуре приводит к возникновению генерации колебаний. Очевидно, решение по случаю 3 соответствует тому, что потери в системе велики и генерация колебаний невозможна.


Условия самовозбуждения и стационарный режим работы автогенератора

Решение уравнения (3) было получено при условии малости амплитуды гармонических колебаний. С ростом амплитуды этих колебании необходимо учитывать нелинейность зависимости K(UВХ).

Рассмотрим квазилинейный метод решения уравнения (3). В стационарном состоянии автогенератор работает в режиме ограничения амплитуды выходного сигнала за счет нелинейности его характеристики K(UВХ). Это приводит к тому, что после усиления сигнала в ОУ его форма отличается от синусоидальной, а в спектре присутствуют гармоники, кратные щР. Затем эти гармоники фильтруются в колебательном контуре и часть этого сигнала поступает вновь через цепь обратной связи на вход активного элемента. Поэтому для анализа работы автогенератора важно знать связь между амплитудой входного сигнала UВХ и величиной амплитуды напряжения первой гармоники UВЫХ1 активного элемента (в нашем случае ОУ). Эту связь можно установить для каждого вида конкретной нелинейности через введение понятия среднего коэффициента усиления ОУ:

KСР(UВХ)= UВЫХ1 / UВХ,  (4)

где  UВХ и UВЫХ1 —  комплексные амплитуды генерируемого колебания на входе и выходе ОУ соответственно.

Представим автогенератор как усилитель с нелинейной характеристикой KСР(UВХ) и контуром в цепи ПОС, на вход которого поступает напряжение обратной связи  Uос после цепи ОС с комплексной передаточной функцией  β  (рис.3).

  Рис.3

Тогда из условия стационарности работы такой схемы можно получить

  UВХ= UОС.  (5)

Напряжение ОС для произвольной частоты генерации можно записать в следующем виде:

UОС =UВХ=β UВЫХ1.  (6)

С другой стороны,

UВЫХ1 = KСР UВХ.  (7)

Подставляя (7) в (6) и учитывая условия стационарности (5), окончательно имеем

β KСР =1.         (8)

Последнее равенство можно представить в виде условия баланса амплитуд

⎪β Kср⎪=1         (9)

и условия баланса фаз:

φК+φОС=2πn,         (10)

где φК – набег фазы в ОУ, φОС – набег фазы в цепи ОС, а n=0,1,2,...целое.

Из условия баланса фаз следует, что в стационарном режиме сумма фазовых сдвигов по цепи обратной связи равна 2πn. То есть на вход автогенератора напряжение ОС поступает в фазе с генерируемым колебанием. Поэтому из условия баланса фаз можно найти частоту генерируемых колебаний ωР.

Из условия баланса амплитуд вытекает, что коэффициент усиления по петле обратной связи равен единице. Величина  β  не зависит от амплитуды входного сигнала. Величина KСР является нелинейной характеристикой амплитуды входного сигнала. Поэтому условие баланса амплитуд определяется как точка пересечения | KСР | (сплошная линия) с постоянной |1/ β|= | KСР | = K0 (рис.4).

  | KСР |

  K0

  UСТ1  UСТ2  UСТ  UВХ

Рис.4

Из графика видно, что величина | KСР | падает с ростом амплитуды UВХ сигнала на входе системы. Поскольку величина коэффициента усиления по петле обратной связи K0= |1/β| постоянна и не зависит от Uвх, то условие баланса амплитуд будет выполняться в точке пересечения K0=| KСР |. Амплитуда UВХ в этой точке будет равна амплитуде стационарных колебаний Uст=Uвх. Легко проверить, что эта точка соответствует устойчивому состоянию равновесия системы. Если амплитуда входного сигнала возрастает от значения Uст, то за счет уменьшения | KСР | произойдет уменьшение коэффициента усиления в нелинейном усилителе, что приведет к возврату в устойчивое состояние равновесия. Аналогично при уменьшении Uвх усиление возрастает.

Для некоторых активных элементов нелинейная зависимость среднего коэффициента передачи | KСР | от Uвх может проявляться уже для малых значений Uвх. При этом средний коэффициент передачи может иметь несколько точек пересечения с прямой обратной связи, как это показано на рис.4 пунктиром. С учетом изложенного ранее, нетрудно показать, что точка А и UСТ1 соответствует неустойчивому состоянию равновесия, а точка В и UСТ2 — устойчивому состоянию равновесия. В отличие от ранее рассмотренного случая генерирование колебаний в такой системе может произойти только при подаче на вход активного элемента внешнего воздействия, амплитуда которого превышает UСТ1. Такой режим возникновения колебаний называется “жестким” в отличие от “мягкого”, рассмотренного выше.

Равноценным подходом определения стационарной амплитуды генерируемых колебаний является ее графическое определение из колебательной характеристики. Колебательной характеристикой называется зависимость выходной амплитуды первой гармоники генерируемых колебаний UВЫХ1 от амплитуды сигнала на входе UВХ активного элемента. В рассмотренном ранее случае эта зависимость

UВЫХ1 = K( UВХ) UВХ.  (11)

Колебательную характеристику можно снять экспериментально. Для этого необходимо разорвать цепь обратной связи автогенератора, подать на вход нелинейного элемента гармоническое колебание амплитуды UВХ и замерить амплитуду первой гармоники напряжения UВЫХ1 на выходе ОУ. Соответственно зависимость амплитуды первой гармоники от величины сигнала на выходе цепи обратной связи можно представить с учетом (5) и (7) в виде

UВЫХ1=(1/β) UВХ.  (12)

Очевидно, точки пересечения зависимостей (11) и (12) и дадут величину стационарных колебаний в автогенераторе. Точки пересечения могут давать как устойчивое, так и неустойчивое состояние равновесия системы.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6