Понятие выборки (стр. 3 )

Известный русский статистик по данным земской статистики для 5200 селений б. Московской губернии определил, что грамотных среди населения было 47,6%. Грамотных среди населения в образованной им выборочной совокупности объемом в 500 селений оказалось 47,5%. Таким образом, генеральная доля составила 0,476, а выборочная – 0,475.

Пусть генеральная совокупность состоит из студентов Бийского педагогического университета. По состоянию на *** г. их было 6610 человек, в том числе 5167 женщин. Следовательно, генеральная доля женщин среди студентов вуза составляет , или 78,2%. Из студентов вуза образована выборочная совокупность из 200 человек. Среди них оказалось 158 женщин. Выборочная доля женщин , или 79%.

В рассмотренных примерах выборочные доли близки к генеральным, но все-таки не совпадают с ними. Различия объясняются тем, что имеются ошибки выборочного наблюдения. Это ошибки репрезентативности и ошибки регистрации.

Опр. Ошибками репрезентативности называются расхождения характеристик признака в выборочной совокупности от соответствующих характеристик его генеральной совокупности, возникающие только в результате того, что исследуется не вся совокупность, а лишь часть ее.

Ошибки репрезентативности бывают систематические и случайные. Систематическая ошибка репрезентативности возникает при нарушении случайности при отборе членов в выборочную совокупность. Например, если в выборку, образованную с целью прогноза урожайности, будут включены лишь наиболее урожайные (или, наоборот, наименее урожайные) участки.

Если требования случайности при отборе членов в выборочную совокупность были выполнены, например, в выборку отобраны те члены генеральной совокупности, которые определены таблицей случайных чисел, то выборочная и генеральная средние (доли) все же, как правило, не совпадают. Разность между ними и будет случайной ошибкой репрезентативности. Она возникает только потому, что обследуется не вся совокупность, а только часть ее, отбираемая случайно.

На характеристики выборочной совокупности могут влиять ошибки регистрации.

Опр. Ошибкой регистрации называется расхождение между истинным значением изучаемого признака у члена совокупности и значением, зарегистрированным при наблюдении.

Ошибки регистрации также могут быть систематическими и случайными. Систематические ошибки регистрации возникают при умышленном или неумышленном искажении в одну и ту же сторону (завышении или занижении) значений изучаемого признака у членов совокупности. Систематические ошибки регистрации недопустимы для любого наблюдения. Применение выборочного метода обычно приводит к уменьшению ошибок регистрации, так как при этом в несколько раз уменьшается число обследуемых объектов, что позволяет уделить им больше внимания, точнее произвести измерение у них значений рассматриваемого признака. На этом принципе основывается применение выборочного наблюдения для проверки данных сплошного обследования (например, контрольные обходы после проведения переписи скота).

Ошибки регистрации могут появляться как при выборочном, так и при сплошном обследовании. Ошибки репрезентативности характерны лишь для выборочного наблюдения.

§2. Статистические оценки параметров распределения

Смысл статистических методов заключается в том, чтобы по выборке ограниченного объема  , т. е.  по некоторой части генеральной совокупности, высказать обоснованное суждение об ее свойствах в целом.

Числовые значения, характеризующие генеральную совокупность, называются параметрами.

Одна из задач математической статистики – определение параметров большого массива по исследованию его части.

Опр. Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют его приближенное значение, зависящее от данной выборки , т. е. некоторую функцию этих величин

Здесь - значения признака,

        - соответствующие частоты.

Статистическая оценка является случайной величиной.

Статистические оценки могут быть точечными и интервальными.

Статистическое оценивание может выполняться двумя способами:

точечная оценка – оценка параметра генеральной совокупности одним числом; интервальная оценка – по данным выборки оценивается интервал, в котором лежит истинное значение параметра генеральной совокупности с заданной вероятностью. Точечная оценка

Это оценка, которая определяется по выборке одним числом.

Обозначим через - оцениваемый параметр (им может быть и математическое ожидание и дисперсия и т. д.), а через - его статистическую оценку.

Опр. Величину называют точностью оценки. Чем меньше ,тем точнее определен неизвестный параметр.

Для того, чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям.

Чтобы оценка имела практическое значение, она не должна содержать систематической ошибки и иметь возможно меньшую дисперсию. Кроме того, при увеличении объема выборки вероятность сколь угодно малых отклонений должна быть близка к 1.

Опр. Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру , при любом объеме выборки, т. е., и смещенной, если  .

Опр. Оценка называется эффективной, если при заданном она имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема ( - велико) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Опр. Оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки она стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Если оценка состоятельна, то практически достоверно, что при достаточно большом n .

Теорема. Несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя ,  , где - варианта выборки, - частота встречаемой варианты , - объем выборки.

Теорема. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия: .

Эта оценка является смещенной, т. к.

.  (7)

Т. е. выборочная дисперсия «занижает» генеральную дисперсию, т. к. . Положение можно «исправить», если ввести поправку в виде коэффициента , домножив на нее выборочную дисперсию .

Теорема. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:

.  (8)

Интервальная оценка. Доверительный интервал.

При выборе малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводит к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Определение. Интервальной оценкой параметра И называется числовой интервал, который с заданной вероятностью г накрывает неизвестное значение параметра И.

Т. о. интервальная оценка определяется двумя числами – концами интервала, накрывающего оцениваемый параметр с заданной вероятностью.

Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным  выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра . Чем меньше абсолютная величина разности , тем лучше, точнее определен неизвестный параметр.