Понятие выборки (стр. 4 )

Если и , то чем меньше , тем точнее оценка. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству , можно лишь говорить о вероятности , с которой это неравенство выполняется.

Опр. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки параметра по известному , называют вероятность выполнения неравенства ,т. е. .

Обычно надежность оценки задается наперед, причем, в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную: 0,95; 0,99; 0,999.

Рассмотрим неравенство , необходимо определить в каких пределах находится неизвестный параметр , т. к. , имеем:

Тогда можно записать в виде .  (9)

Последнее соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал заключает в себя (покрывает) неизвестный параметр , равна .

Опр. Доверительным интервалом называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной точностью .

А. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном  и неизвестном среднем квадратическом отклонении.

Пусть количественный признак генеральной совокупности распределен нормально и известно среднее квадратическое отклонение этого распределения. Как оценить неизвестное математическое ожидание (генеральная средняя ) по выборочной средней и найти доверительные интервалы, покрывающие параметр с надежностью .

Для решения этой задачи используют формулу

.  (10)

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр , причем, точность оценки . Число - определяется из равенства , по таблице функции Лапласа находят аргумент ,которому соответствует значение функции Лапласа, равное .

В большинстве случаев среднее квадратическое отклонение исследуемого признака  - неизвестно. Поэтому, вместо при большой выборке применяют исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение , являющееся оценкой . Доверительный интервал будет иметь вид: , а формула (10) примет вид: .  (11)

Доверительный интервал зависит от объема выборки. Английский статистик Госсет (псевдоним Стьюдент) нашел доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном  , зависящий от объема выборки и надежности , а именно: , где находят по таблице 4 по данным и . Рабочая формула: .  (12)

Но при больших объемах выборок числа и (найденные по таблице 2 – значения функции Лапласа)  практически совпадают.

Б. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения.

С надежностью можно утверждать, что доверительный интервал при покрывает  неизвестный параметр , точность оценки , где - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, и , если .

Значение находят по таблице 5, т. е. .