Министерство образования и науки РФ

ГАПОУ ПО «ПЕНЗЕНСКИЙ МНОГОПРОФИЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

отделение информационных технологий

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ТЕМЕ:

«СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

  Дисциплина: Математика

Выполнил: преподаватель математических

  дисциплин Татьяна Викторовна Зиманова

Пенза 2014

Введение.

Методическая разработка по теме «Способы решения тригонометрических уравнений». Эта разработка расширит и углубит математические знания по данной теме.

    Актуализировать знания по теме: «Решение простейших тригонометрических уравнений»; Привить интерес к самостоятельному изучению темы, к поиску решений и выбору методов. Научиться решать тригонометрические уравнения, пользуясь методом решения квадратных уравнений. Выработать умения самостоятельно применять знания. Осуществлять их перенос в новые ситуации

Все приводимые способы направлены на развитие познавательного интереса к предмету, знакомящие студентов с новыми идеями и методами, расширяющие представления об изучаемой теме.

Уравнения, предлагаемые в данной разработке, интересны, красивы, носят прикладной характер, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и интерес к предмету и вызвать желание узнать больше.

Основные цели методической разработки:

    знакомство студентов с основными приемами и методами решения тригонометрических уравнений; развитие навыков применения теоретических сведений по данной теме на практике в различных проявлениях; развитие творческих способностей; повышение  интереса к предмету; повторение и  обобщение знаний по теме «Способы решения тригонометрических уравнений; оказание помощи студентам систематизировании уравнений и нахождении рациональных приемов решения.

Содержание.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
Уравнения, приводимые к алгебраическим. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Уравнения, решаемые разложением на множители. . . . . . . . . . . . .5 Однородные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций. . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму. . . . . . .. . . . . 10 Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени. .11 Уравнения вида .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Переход к половинному углу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Введение вспомогательного угла. . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . .13 Преобразование произведения в сумму. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 Уравнения смешанного типа. . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Задания для промежуточного и итогового контроля результатов обучения. . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..21 Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Тригонометрические уравнения.

Уравнение .

Если для любого t. Если , то формула корней уравнения такова:

Уравнение .

При уравнение не имеет решений, так как для любого . Если |a|≤1,то формула для записи всех решений уравнения такова: Удобно записывать не двумя, а одной формулой:

3. Уравнение . Решение данного уравнения имеет вид:.

4. Уравнение . Решение данного уравнения имеет вид:

Способы решения тригонометрических уравнений.

I. Уравнения, приводимые к алгебраическим

Пример. Решить уравнение

Решение. Воспользуемся тем, что . Тогда заданное уравнение можно переписать в виде . После понятных преобразований получим . Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид , откуда находим . Значит,. Из этих уравнений находим, соответственно,

Уравнения для самостоятельного решения:

 

II. Уравнения, решаемые разложением на множители

Смысл этого метода: если уравнение удается преобразовать к виду , то задача сводится к решению двух уравнений, то есть к решению совокупности уравнений: .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Имеем . Значит, приходим к совокупности уравнений . Из первого уравнения находим . Из второго уравнения находим .

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е. Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е. cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.

Р е ш е н и е. cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos І 4x,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

Уравнения для самостоятельного решения:

III. Однородные уравнения.

Определение. Уравнение вида, где называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени, уравнение вида ёназывают однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Итак, дано уравнение . Разделив обе части уравнения почленно на , получим .

Но, внимание! Делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае отличен от 0? Давайте проанализируем. Предположим, что cos x =0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0ё то есть sinx=0ё так как a≠0. Получается, что и cosx=0ё и sinx=0ё а это невозможно, так как sinx и cosx обращается в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на cosx - вполне благополучная операция.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4