Рабочая программа (стр. 1 )

I. Рабочая программа

1.1. Цели освоения дисциплины

Цель преподавания дисциплины «Экономико-математические модели» дать студентам научное представление о методах, моделях и приемах, позволяющих получать количественные выражения закономерностям экономической теории на базе экономической статистики с использованием математико-статического инструмента.

Научить студентов строить модели экономических процессов по эмпирическим данным, проводить статистические выводы и расчеты, ознакомить студентов с тенденциями современного развития эконометрики, научить их применять полученные знания на практике.

1.2. Место дисциплины в структуре ООП

Курс «Экономико-математические модели» рассчитан на студентов, прослушавших курсы математического анализа, линейной алгебры, методов оптимальных решений, экономической статистики, теории вероятностей и математической статистики.

Учебная дисциплина «Экономико-математические модели» опирается на материал предшествующих ей дисциплин "Математический анализ", "Линейная алгебра", "Теория вероятностей".

Курс «Экономико-математические модели» может быть использован в спецкурсах по теории случайных процессов, математическим моделям в экономике, оптимальному управлению, статистическому прогнозированию, принятию решений в условиях неопределенности.

Учебный процесс состоит из посещения студентами лекций и семинарских занятий, решения основных типов задач, включаемых в домашние работы, выполняемые на компьютерах, защиты выполненных домашних заданий.

1.3.Требования государственного образовательного стандарта ВПО дисциплины «Математика: Экономико-математические модели»

  Экономико-математические модели: функции полезности; кривые безразличия; функции спроса; уравнение Слуцкого; кривые “доход-потребление”; кривые “цена-потребление”; коэффициенты эластичности; материальные балансы; функции выпуска продукции; производственные функции затрат ресурсов; модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции; модели общего экономического равновесия; модель Эрроу-Гурвица; статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса; общие модели развития экономики; модель Солоу.

В результате изучения дисциплины студент должен:

- знать наиболее широко используемые модели микроэкономических и макроэкономических процессов и систем (задачи линейного, нелинейного, динамического, векторного программирования, задачи теории массового обслуживания) и основные принципы оптимальности (экстремальность, паретооптимальность, доминирование);

- уметь моделировать практические задачи;

- владеть математическим аппаратом теории исследования операций.

1.4. Структура и содержание дисциплины (модуля) «Экономико-математическое моделирование»

1.4.1. Разделы дисциплин и виды занятий

№п/п	Раздел дисциплины(модуля)	Семестр	Неделя семестра	Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)	Формы текущего контроля успеваемости промежуточной аттестации
Дневное отделение	Заочное отделение	Очно-заочное отделение
Лекции	Практические занятия	Самостоятельные занятия	Лекции	Практические занятия	Самостоятельные занятия	Лекции	Практические занятия	Самостоятельные занятия
Экономико-математическое моделирование и его этапы.	2	1	2	2	2	0,5	8	1	1	6	Опрос
Экономико-математические методы. Состав, структура, направленность, классификация	2	2	2	2	2	0,5	8	1	1	6	Опрос
Динамическое программирование	2	3	2	2	2	0,5	1	8	1	1	6	Опрос
Нахождение кратчайшего пути.	2	4	2	2	2	0,5	8	1	1	6	Опрос
Динамическое программирование. Задача распределения ресурсов	2	5	2	2	2	0,5	9	1	1	6	Контрольная работа
Задача распределения однородного ресурса	2	6	2	2	2	0,5	8	1	1	6	Опрос
Линейные балансовые модели в экономике	2	7	2	2	2	0,5	1	10	2	1	6	Опрос
Межотраслевая балансовая модель	2	8	2	2	2	0,5	8	1	1	6	Опрос
Свойства межотраслевой балансовой модели	2	9	2	2	2	0,5	8	1	6	Тестирование
Статическая модель межотраслевого баланса. Коэффициенты прямых материальных затрат	2	10	2	2	2	0,5	8	1	1	6	Опрос
Элементы теории массового обслуживания	2	11	2	2	2	0,5	1	8	1	1	6	Опрос
Одноканальная СМО с отказами	2	12	2	2	2	0,5	8	1	1	6	Опрос.
Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью	2	13	2	2	2	0,5	8	1	1	6	Контрольная работа
Одноканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью	2	14	2	2	2	0,5	8	1	1	6	Опрос
Многоканальная СМО с отказами	2	15	2	2	2	0,5	8	1	1	6	Опрос
Многоканальная СМО с ожиданием	2	16	2	2	2	8	1	6	Опрос
Управление запасами	2	17	2	2	2	0,5	8	1	1	6	Тестирование
Всего	34	34	68	8	3	139	18	16	102

1.4.2. Содержание лекционных занятий

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Содержание раздела
1.	Экономико-математическое моделирование и его этапы.	Функции полезности; кривые безразличия; функции спроса; уравнение Слуцкого; кривые “доход-потребление”; кривые “цены-потребление”. Общие модели развития экономики; модель Солоу. Экономическая система является частью более сложной системы – социально-экономической, и представляет собой вероятностную, динамическую, адаптивную систему, охватывающую процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных благ, а также предоставления различных сервисных услуг. Как правило, входные параметры экономических систем – это материальные вещественные потоки производственных и природных ресурсов, то есть Х. Входные параметры – это материальные вещественные потоки, оборудование, военная продукция, продукция накопления, возмещения и экспорта, то есть У.
2	Экономико-математические методы. Состав, структура, направленность, классификация	Экономические системы – многоступенчатые, многоуровневые системы, и любая неопределенность, случайность во входных параметрах в нижних уровнях приводит к неопределенностям и случайностям в выходных параметрах подсистем более высокого порядка и системы в целом. К старейшим и наиболее используемым классам экономико-математических методов относятся методы математической статистики. Эти методы используются для анализа деятельности экономических систем и включают в себя следующие направления:расчет и интерпретация статистических характеристик экономических процессов;регрессионный и корреляционный анализ;планирование эксперимента. Следующим классом экономико-математических методов являются методы исследования операций и оптимизации. Это наиболее разработанная группа экономико-математических методов, позволяющих осуществить формализованный анализ экономических систем и процессов, а также найти коэффициенты эластичности.
3	Динамическое программирование	Задачи динамического программирования являются многоэтапными. ДП изучает условия, которым должен удовлетворять оптимальный многошаговый процесс принятия решений, и каким образом использовать эти условия для нахождения лучшего варианта.
4	Нахождение кратчайшего пути.	Принцип оптимальности формулируется следующим образом: «Оптимальное поведение обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и решение (управление) в начальный момент, последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения».
5	Динамическое программирование. Задача распределения ресурсов	ДП является одним из основных направлений современной математической теории управления.  Сущность подхода динамического программирования состоит в том, что конкретную задачу управления «погружают» в более широкий класс задач, которые характеризуются рядом параметров; затем с помощью «принципа оптимальности» определяется основное рекуррентное соотношение, связывающее задачи из этого класса. Затем, при условии выполнения некоторых предположений, находится решение широкого класс задач, а решение конкретной задачи получается как частный случай.
6	Задача распределения однородного ресурса	Модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции. Динамическое программирование применяется для решения задач, в которых процесс принятия решений  может быть  разбит на отдельные шаги - этапы, т. е. имеет место динамический процесс принятия решений, а с точки зрения математики имеет место дискретизация, которая может быть естественной, например, во времени.
7	Линейные балансовые модели в экономике	Материальные балансы; функции выпуска продукции; производственные функции затрат ресурсов. Основу баланса составляет совокупность всех отраслей материального производства; их число равно п. Каждая отрасль дважды фигурирует в балансе: как производящая и как потребляющая. Отрасли какпроизводителю продукции соответствует определенная строка, а отрасли какпотребителю продукции — определенный столбец. Если номер любой производящей отрасли обозначить через i, а номер любой потребляющей отрасли — через j, то находящиеся на пересечении отраслей (т. е. соответственно строк и столбцов) величины хij нужно понимать как стоимость средств производства, произведенных в i-й отрасли и потребленных в качестве материальных затрат в j-и отрасли.
8	Межотраслевая балансовая модель	Статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса. Модель Эрроу-Гурвица. Теория общего экономического равновесия исследует, какими должны быть пропорции и каков механизм их установления и поддержания в экономической системе для нормального протекания процесса воспроизводства. Данный метод широко используется в современном бизнеса для установления стоимостных затрат между взаимодействующими объектами рыночной экономики.  В основе  создания этих моделей лежит балансовый метод, т. е. метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Под балансовой моделью следует понимать систему уравнений, которые удовлетворяют требованиям  соответствия наличия ресурса и его использования.
9	Свойства межотраслевой балансовой модели	Матричные экономико-математические модели предназначены для анализа и планирования производства и распределения продукции на различных уровнях — от отдельного предприятия до народного хозяйства в целом. Положительными и ценными качествами данной модели являются общность расчетов, которые опираются на знание коэффициентов прямых и полных материальных затрат.
10	Статическая модель межотраслевого баланса. Коэффициенты прямых материальных затрат	Особая роль принадлежит трудовым ресурсам и капиталовложениям. Эти два фактора производства всегда являются внешними по отношению к любой экономической системе. Тем не менее с помощью метода межотраслевого баланса можно определить затраты труда, капитала и других ресурсов, не производящихся внутри нее.
11	Элементы теории массового обслуживания	Модели общего экономического равновесия. Система массового обслуживания (СМО) – это совокупность приборов, каналов, станков, линий обслуживания, на которые в случайные или детерминированные моменты времени поступают заявки на обслуживание. Например, коммутаторы телефонных станций, супермаркет, парикмахерские. Оптимизация и оценка эффективности СМО состоит в нахождении средних суммарных затрат на обслуживание каждой заявки и нахождение средних суммарных потерь от заявок не обслуженных
12	Одноканальная СМО с отказами	СМО состоит из определенного числа обслуживающих каналов и предназначена для выполнения заявок с разным характером распределения момента времени на обслуживание. Моделирование СМО предполагает: 1) построение ЭММ, связывающих параметры СМО (число каналов, их производительность и т. п.) с показателями эффективности; 2) оптимизацию данных показателей с целью получения максимальной эффективности.
13.	Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью	Системы массового обслуживания (СМО)— это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характери­зуемая показательным распределением как длительностей интерва­лов между поступлениями требований, так и длительностей обслу­живания.
14	Одноканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью	Независимо оттого, сколько требований по­ступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), из которых одна обслуживается, а (N-1) ожидают.  Клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены об­служиваться в другом месте и такие заявки теряются.
15	Многоканальная СМО с отказами	СМО состоит из определенного числа обслуживающих каналов и предназначена для выполнения заявок с разным характером распределения момента времени на обслуживание. Моделирование СМО предполагает:- построение ЭММ, связывающих параметры СМО (число каналов, их производительность и т. п.) с показателями эффективности; - оптимизацию данных показателей с целью получения максимальной эффективности. Устойчивое решение в такой системе существует только тогда, когда л<м, то есть заявки должны обслуживаться с большей скоростью, чем поступают, в противном случае очередь может разрастись до бесконечности.
16	Многоканальная СМО с ожиданием	Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока л, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/м. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, при чем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, починенной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышение (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n клиентов.
17	Управление запасами	Любая социально-экономическая система, как и техническая система, может ритмично работать при наличии достаточного запаса ресурсов. В качестве ресурсов для обеспечения ритмичного производства  используются:  материальные ресурсы (сырье, полуфабрикаты, энергоносители); технологические, трудовые ресурсы;  финансовые и другие ресурсы. Ритмичность поставок вынуждают следующие обстоятельства:  несовпадение ритмов производства с ритмами потребления; случайные колебания спроса за период между поставками; случайные колебания интервала между поставками;  срыв объема поставок.

1.5. Содержание практических занятий

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Компетенции	Образовательная технология	Содержание занятий
Экономико-математическое моделирование и его этапы.	ОК-13, ПК-4	практикум	Рассмотрим задачу выбора решения для случая, когда имеется векторный критерий который состоит из двух показателей: .
Экономикоматематические методы. Состав, структура, направленность, классификация	ОК-1, ОК-13, ПК-4	практикум	Получение решений из множества  Парето: 1) метод сворачивания векторного критерия в глобальный скалярный, 2) метод последовательных уступок, 3) метод минимизации по частному критерию или показателю и ряд других.
Динамическое программирование	ОК-1, ОК-13, ПК-4, ПК-5	Практикум контрольная работа №1	Решение задачи, в которой присутствует оптимальная подструктура, проделывая следующие три шага. Разбиение задачи на подзадачи меньшего размера. Нахождение оптимального решения подзадач рекурсивно, проделывая такой же трехшаговыйалгоритм. Использование полученного решения подзадач для конструирования решения исходной задачи.
Нахождение кратчайшего пути.	ОК-13, ПК-4, ПК-5	практикум	Решение задачи о выборе траектории и задачи последовательного принятия решения. Алгоритм Флойда-Уоршелла: найти кратчайшие расстояния между всеми вершинами взвешенного ориентированного графа. Алгоритм Беллмана — Форда: найти кратчайший путь во взвешенном графе между двумя заданными вершинами. Максимальное независимое множество вершин в дереве: дано дерево, найти максимальное множество вершин, никакие две из которых не связаны ребром.
Динамическое программирование. Задача распределения ресурсов	ОК-13, ПК-4, ПК-5	практикум	Задача о ранце: из неограниченного множества предметов со свойствами «стоимость» и «вес» требуется отобрать некое число предметов таким образом, чтобы получить максимальную суммарную стоимость при ограниченном суммарном весе.
Задача распределения однородного ресурса	ОК-1, ОК-13, ПК-6	Практикум контрольная работа №2	Компанией планируется распределение ограниченных ресурсов S0=250*106 руб. между четырьмя предприятиями П, П2,П3,П4. Известна прибыль каждого предприятия, которую они получают (исходные данные приведены в таблице). Находим оптимальное управление
Линейные балансовые модели в экономике	ОК-13, ПК-5, ПК-6	практикум	Составляем линейные балансовые модели
Межотраслевая балансовая модель	ОК-13, ПК-6	практикум	Завершим составление баланса, располагая следующими дан­ными об экономической системе, состоящей из трех  экономических объектов (например, Р1 – промышленность, Р2 –  сельское хозяйство, Р3 – транспорт).
Свойства межотраслевой балансовой модели	ОК-1, ОК-13, ПК-10	практикум	Решаем следующие три основные задачи: По данному вектору-столбцу X,  который  будем  называть вектором-столбцом объемов производ­ства, найти вектор-столбец конечной продукции Y. Обратная задача: по заданному вектору Y  найти вектор X. Смешанная  задача:  зная  значения  части  Xi  и  Yj,  найти соответствующие Yi и Xj.
Статическая модель межотраслевого баланса. Коэффициенты прямых материальных затрат	ОК-13, ПК-10	практикум	Пример. Используя отчетный баланс: Найдите аij. Построй­те систему балансовых уравнений. По вектору Y = (10, 20) найдите вектор X. Найдите вектор Y, если X=(50,100).
Элементы теории массового обслуживания	ОК-1, ОК-13, ПК-10	практикум	Определим характеристики систем массового обслуживания.
Одноканальная СМО с отказами	ОК-13, ПК-6, ПК-10	Практикум контрольная работа №3	Пример. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка—автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, то получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей л 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания—tоб=1,8 часа. Требуется определить в установившемся режиме предельные значения: относительной пропускной способности q; абсолютной пропускной способностиА; вероятности отказа Ротк;
Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью	ОК-1, ОК-13, ПК-10	практикум	Пример. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3, то есть (N— 1)=3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику имеет интенсивность л=0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно =1,05 час. Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.
Одноканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью	ОК-1, ОК-13, ПК-10	практикум	Пример. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена. Требуется определить финальные значения  вероятностных характеристик:
Многоканальная СМО с отказами	ОК-1, ОК-13, ПК-10	практикум	. Пусть n-канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (n=3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность л=1 задача в час. Средняя продолжительность обслуживания tоб=1,8 час. Требуется вычислить значения:- вероятности числа занятых каналов ВЦ.
Многоканальная СМО с ожиданием	ОК-1, ОК-13, ПК-10	Практикум контрольная работа №4	Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность л=2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно tоб=0,5 сут. Требуется вычислить предельные значения вероятностных характеристик системы:
Управление запасами	ПК-5, ПК-6	практикум	Предприятие придерживается следующей политики: по мере исчерпания запасов поступает очередная партия сырья и материалов размером в q единиц. В этих условиях средний размер запасов будет равен q/2, количество заказанных и полученных партий сырья и материалов за год составит D/q, а суммарные затраты по поддержанию запасов могут быть найдены по формуле:Решение задач с конкретными данными.

1.6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

1.6.1. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости

Текущий контроль знаний студентов осуществляется с помощью контрольных работ, выполняемых на практическом занятии по темам 2-3: «Динамическое программирование. Нахождение кратчайшего пути», «Динамическое программирование. Задача распределения ресурсов»