Примерный план занятий в терминальном классе

  по квантовой механике

Преподавателям и студентам желательно иметь учебное пособие “Компьютерный прак­тикум по квантовой механике” (, , – НГУ,1996). Перед первым занятием в терминальном классе преподаватель сообщает, как вводятся безразмерные переменные в уравнение Шредингера, как компьютер решает задачу о нахождении уровней. Возможно предварительное занятие – с программой, изображающей колебания цепочки грузиков (в классической механике).

Указанные здесь наборы параметров – жалкий минимум. Инициативный студент  сумеет поставить и решить с помощью программ QUANT ещё много вопросов. Хорошее освоение материала – это способность отвечать на возникающие сходные вопросы уже без обращения к компьютеру.


Одна или две потенциальные ямы – уровни энергии, волновые  функции, распределение по импульсам. Одна яма Ua = -20,  a=3. Просмотреть уровни, волновые функции, распределения по импульсам. Мелкая яма Ua=-20,  a=0.1. При каком a возникает второй уровень? Как найти силу, действую­щую на стенку ямы? Яма с Ua= -20,  a=1. Какими окажутся уровни связанных состояний и их волновые функции в паре таких ям при расстоянии b=0.5 между ними. Две узкие ямы Ua= -20,  a=0.1, Ub=0,  b=3. Зависимость En от b при изменении b  от 0 до 3. Об­суждение ковалентной связи в молекуле H2. Две  ямы U1= -22, U2= -20,  a=0.1, Ub=0, b=3. Локализация состояний в разных ямах, аналогия с колебаниями связанных маятников. Две ямы (U1= -1, U2= -20,  a=1, Ub=0, b=0.5) постепенно изменяют свою глубину, так что в конце 

концов окажется U1= -20, U2= -1. Как изменяются при этом уровни энергии и волновые функции?

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

2 Несколько потенциальных ям  - зависимость уровней энергии от расстояния между ямами и от глубины отдельных ям. Локализация частицы вблизи примеси.

2.1. В яме Ua = -20,  a=1 всего два уровня. Рассмотреть случай семи таких ям с расстоянием b=0.5 между ними. В этом случае имеется 13 связанных состояний. При b=0.3 один верхний уровень выталкивается, а при b=0.75 появляется 14-й уровень. Интересно попробовать предсказать вид нескольких характерных волновых функций, сопоставляя с нормальными колебаниями цепочки из семи грузиков.

2.2. Три узкие ямы Ua =-20, a=0.1,  b=4, Ub =0. При поиске уровней энергии надо уменьшить шаг по энергии (HE=0.01).

2.3. Для двух ям Ua =-20, a=0.1 с расстоянием  b=3 между ними и Ub =0 рассмотреть зависимость квадрата модуля волновой функции от времени, если в начальный момент волновая функция равна:

а)ш 1 +ш2 (перетекание частицы из одной ямы в другую)

для рисунка |Ш (x, t) |2 удобно выбрать масштаб по времени tmax = 1000;

б) ш2 +ш3 (биения внутри каждой ямы).

2.4. Будут ли состояния частиц в поле, образованном парой ям, делокализованы, если ямы разные, но некоторые уровни в этих ямах, рассматриваемых поодиночке, совпадают?

2.5. Шесть ям  Ua =-20, a=1, b=0.7, Ub =0; сделав третью яму чуть глубже U3 = -21 или мельче

U3 =-19, обнаружить локализацию одного из состояний на этой примеси.

Сравнить уровни и волновые функции в 10-12 узких ям на небольших расстояниях  и в одной “усреднённой” яме.
Появление зон в случае многих потенциальных ям.

Интересно сопоставить решение задачи о колебаниях цепочки грузиков с решением задачи об опре­делении уровней энергии в поле многих ям вариационным методом (в условиях, соответствующих приближению сильной связи ).

3.1. Семь ям  Ua =-20, a=1, b=0.7 барьеры между  ними возрастают от Ub =-20 до Ub =0. Возникает узкая нижняя зона, а в более широкой верхней зоне часть уровней выталкивается.

3.2. Попробуйте предсказать поведение уровней для семи ям Ua = -20, a=1, Ub=0, если ширины барьеров между ямами увеличиваются от значения b=0 до b=0.6.

3.3. Шесть ям Ua = -20,  a=1,  b=0.7,  Ub =0; сделав третью яму чуть глубже U3 = -21 или мельче

U3 = -19, обнаружить локализацию одного из состояний на этой примеси.

4. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер, зависимость коэффициента прохождения и |шE(x)|2 от энергии, резонансы.

4.1. Найти коэффициент прохождения T(E) над ямой Ua =-20,  a=3, первый пик функции T(E) уже, а остальные более широкие. Предсказать поведение T(E) для a= 5 и a=15. Предполагается, что эта задача  решалась на семинаре аналитически.

Для случая Ua =-20,  a=3 просмотреть зависимость | шE(x)|2 от энергии E в интервале от E=0 до E=30,

обратить внимание на то, что при T(E)=1 амплитуды волновой функции вне и внутри ямы сравниваются, что резко противоречит классической картине.

4.2.  Для случая барьера Ua =10,  a=0.5 просмотреть зависимость T(E) в интервале от E=0 до E=30.

4.3.  Два барьера Ua =10,  a=0.5 с расстоянием между ними b=1,  Ub=0. В зависимости T(E) первый пик связан с основным квазиуровнем, второй --- с надбарьерным квазиуровнем. Такая система аналогична эталону Фабри-Перро или нейтронному интерференционному фильтру (чередование слоев: никель, насыщенный азотом, --- сплав Ti/Zr, см. Ядерная физика 1999 г., т.62, No5, стр.775 ).

Просмотреть зависимость |ш E(x)|2 от энергии E в интервале от  E=0 до  E=30 с шагом HE=0.01, обратить внимание на то, что при  T(E)=1 амплитуда волновой функции между барьерами велика. Сопоставить положение резонансов и уровней в яме с Ua =-10,  a=0.5 .

4.4. Три барьера  Ua =10,  a=0.5 с расстоянием между ними  b=1,  Ub=0 и шагом  HE=0.02. В зависимости  T(E) происходит расщепление пиков, обнаруженных в предыдущем случае двух барьеров.

Просмотреть зависимость |шE(x) |2 от энергии E с шагом HE=0.01 в интервале значений E вблизи резонанса и в минимуме T(E) между пиками.

4.5. Рассмотреть случай многих (N=8,  12) барьеров предыдущего вида. В этом случае ясно проявляются зоны пропускания и запрещенные зоны почти полного отражения.

5. Периодическое поле, спектр, волновые функции.

5.1.  В одной яме Ua =-20,  a=1 имеется всего два уровня. В периодическом поле, построенном из таких ям с расстоянием b=0.5,  Ub =0, появляются две зоны в области E<0. Для просмотра удобно выбрать масштаб U в интервале от –22 до +22  и такой же интервал для энергии E.

Просмотрите вид Re ш(x) и Im ш(x) для значений энергии, соответствующих дну нижней зоны, чуть выше и чуть ниже.

5.2. Просмотрите то же самое в трехмерном изображении, где на осях отложены x, Re ш(x) и

Im ш(x). Просмотрите то же самое в трехмерном изображении, где на осях отложены x, Re шE(x) и Im шE(x)  при непрерывном изменении энергии в интервале, включающем и запрещенную зону.

5.3. Зависимость энергии от квазиимпульса E(q).  В случае слабого периодического поля Ua =-0.5,  a=1, b=1,  Ub=+0.5  кривая E(q) представляет собой куски параболы с малыми разрывами. Интересен вид квадрата модуля волновой функции вблизи разрывов - на границах разрешенных зон.

5.4. Локализация состояний в периодическом поле, составленном из двух разных по глубине ям U1=-10,  U2 = 0, U3= -15,  U4= 0 при расстояниях d1=1,  d2=0.3, d3=1, d4=0.3.

5.5  Просмотреть, как изменяется зависимость E(q) при формальном удвоении периода. Затем сделать ямы в периоде не одинаковыми.

5.5 Можно познакомиться также с пайерлсовской неустойчивостью.

6. Движение в центральном поле.

Используем программу QUANTS.

6.1. Уровни энергии в прямоугольной потенциальной яме.

6.2. Частица  в  “слое” (U1=0,  U2 =-20, U3= -15,  d1=1,  d2=0.3).  Аналогия  с

вращательными уровнями молекулы.

6.3. Гармонический осциллятор. Четность и кратности вырождения уровней.

6.4. Модель кулоновского поля.