Материал к неделе науки по теме
«Музыкальная сторона пифагорейского учения о числе»
составили учителя математики и музыки ГБОУ СОШ № 000 г. Москвы
и
.
Музыкальная сторона пифагорейского учения о числе
«Созвучию мы радуемся потому, что оно есть смешение противоположностей,
находящихся в определённом взаимном отношении»
(Аристотель, «Проблемы»)
За философом и математиком Пифагором с древних времён закреплено значение первого из греческих мыслителей, рассуждавших о музыке. Сам Пифагор не оставил никаких письменных работ, кроме случайно уцелевших фрагментов его цитат. «Музыкантов»-пифагорейцев интересовало не столько музыкальное искусство, реальная музыка звуков, сколько те математические пропорции и соотношения, которые они обнаружили в основе музыки.
Великому математику приписывается начальная разработка учения о музыкальных интервалах (консонансах и диссонансах). Древние уверяли, что уже Пифагор знал законы колебания струны монохорда (однострунный инструмент со шкалой деления струны на две отдельно звучащие части) и построения музыкальных созвучий (консонансов). Но запись об этом мы найдём только у пифагорейца Архита из Тарента (V–IV вв. до н. э.). «Славный Архит, земель, и морей, и песков исчислитель…» — писал Гораций. Именно он нашёл подтверждение всей Пифагорейской философии: целые числа тетрактиса (первой четверти 1 + 2 + 3 + 4 = 10) правят всем миром и даже музыкой! Свои открытия древний грек сформулировал в законы (сейчас они носят название «законы Пифагора – Архита»):
1. Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорциональна её длине l: f = (a — коэффициент пропорциональности, зависящий от физических свойств струны — толщины, материала и т. п.)
2. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся, как целые числа, составляющие треугольное число 10 (10 = 1 + 2 + 3 + 4), т. е. как 1:2:3:4.
Эти интервалы — совершенные консонансы (интервалом называются любые два звука, взятые одновременно или последовательно, а также расстояния от нижнего звука до верхнего. Обозначаются интервалы латинскими числительными — прима, секунда, терция, кварта, квинта, секста, септима, октава).
Пифагорейцы привыкли не только измерять, но и соизмерять, т. е. раскрывать внутренние связи между изучаемыми предметами, устанавливая пропорциональные отношения. Например, Архит установил их между основными совершенными консонансами октавой, квинтой и квартой. Например, если принять основной тон за f1, то октава — это f2 = 2f1; среднеарифметическое, дающее, по мнению Архита, тоже консонанс: f3 = .
Каковы же длины струн при этом? Если принять за деление струны монохорда отрезок 1, то l1 = 12l — это вся струна монохорда,
l2 = 6l = l1 — это звук на октаву выше,
l3 = 9l — звук на квинту выше,
l4 = 8l — звук на кварту выше.
Используя известные во времена Пифагора три вида средних значений, которые называются «древними» —
среднее арифметическое = ⇒ a – b = b – c ⇒ b = ,
среднее геометрическое = ⇒ = ⇒ b =
среднее гармоническое = ⇒ = ⇒ b = , (a > b > c > 0)
— Архит путём простейших вычислений приходит к следующим важным выводам:
1. Квинта есть среднее гармоническое длин струн основного тона l1 и октавы l2
2. Кварта и есть среднее арифметическое l1 и l2
3. Октава есть произведение квинты на кварту
4. Октава так относится к квинте, как кварта к основному тону
5. Октава делится на два неравных консонансных интервалов – квинту и кварту
6. Интервал, дополняющий данный интервал до октавы, называется обращением (например, кварта-обращение квинты, а квинта-обращение кварты)
Жил когда флейтист по имени Антигенит. Сладостен был каждый звук в игре этого
музыканта, все люди были знакомы ему, и он мог воссоздать для тебя, по твоему
выбору, и простоту эопийского лада, и богатство ионийского, и грусть лидийского,
и приподнятость фригийского, и воинственность дорийского.
Древнегреческое учение о ладах складывалось в течение нескольких веков и было подытожено православным александрийским учёным (астрономом, географом, физиком, математиком) Клавдием Птолемеем, который дал наиболее полное изложение теории античных звукорядов, как «совершенной системы» во II веке нашей эры.
Тетрахорд – основа всей древнегреческой музыки. Это четырёхструнный звукоряд в пределах кварты. Тетрада – по-пифагорейски это «та гамма, по которой поют сирены». При настройке античной лиры, ставшей символом музыки, четыре её струны обязательно настраивались по правилу тетрады, а настройка остальных струн зависела от лада, в котором предстояло на ней играть.
Названия тетрахордов указывают на соответствующие области Греции и Малой Азии, каждая из которых пела в своём ладу.
В зависимости от положения полутона между тонами в пределах тетрахорда определило название и характер лада. Основные из них:
дорийский — полутон – тон – тон;
фригийский — тон – полутон – тон;
лидийский — тон – тон – полутон.
В пределах октавы, содержащей две кварты, стало возможным «склеивание» двух тетрахордов одним тоном. «Согласие разноголосного» назвали гармонией или октавой.
При перестановке ладов, когда верхний звук одного тетрахорда являлся нижним звуком другого, появились дополнительные лады с приставками гипо - и гипер-.
Таким образом, образовалось семь основных ладов, значение которых велико не только в античной музыке, но и в Средневековье и в современных натуральных ладах.
А если сопоставить количество греческих ладов с господствующими в современной музыке двумя – мажором и минором, – то остаётся только удивляться, насколько утончённым было античное искусство.
Греки наполняли каждый лад определённым этико-эстетическим содержанием, устанавливая ясную связь между музыкальными образами и состоянием души. Они называли это этосом. В этом случае музыке приписывалось значение не только магическое, врачебное, но и сугубо воспитательное. В Древнем Китае философ Конфуций определил это явление следующим образом: «Если хотите знать, как страна управляется и какова её нравственность, прислушайтесь к её музыке». Почти через 200 лет после этих слов Платон и Аристотель подробно классифицируют греческие лады, опираясь на их этическую значимость.
Дорийский лад («дорийский» – от названия греческого племени – доряне) – это «скульптурный стиль греческой музыки» (), он способен тренировать психику, вызывает психическое равновесие. Он величественно - печален (минор!), благороден, важен, задумчив, сдержан. Именно эти чувства не оставляют грека, когда он бодро строит жизнь, когда он воюет и погибает. По мнению Платона, дорийский лад был единственным истинно эллинским.
Лидийский лад Архит называет грустным, а Платон - погребальным. Аристотель находит в нём наивную детскость и прелесть и так же, как и дорийским, относит к ладам, возвышающим психическое равновесие. Плачевный характер лидийского лада постепенно утрачивается, в дальнейшем его будут называть «сладкой лидийской гаммой», отмечая также разнообразие характера. Фригийский лад считался ладом дифирамбов, страсти, экстаза.
В характеристике образного строя музыки этос ладов дополняется этосом интервалов.
Самый совершенный консонанс – приму (l1 : l1 = 1) древние греки не почитали. Две струны, звучащие в унисон не представляли для них особого интереса. Но в оркестре этот простейший интервал может сыграть огромную роль, придавая звучанию объём и яркость.
Совершенный консонанс октава усиливает впечатление объёмности звука, а при поступательном движении вызывает ощущение простора и широты. Особо вдохновляет восходящая октава (как в запеве «Песни о Родине» И. Дунаевского).
Квинта, обладая широким звучанием, при этом более рельефным и динамичным, в восходящем движении активна.
Решительным призывом к действию звучит восходящая кварта. Недаром этот интервал часто используется в революционных песнях «Марсельеза», «Интернационал».
Диссонирующий при одновременном звучании интервал секунда вызывает неприятные ощущения, а при последовательном – образует естественное постепенное течение мелодии от звука к звуку. Таким же образом широкие интервалы заполняются последовательностями секунд и создают спокойное и величавое движение мелодии.
Наиболее неблагозвучным в интервальной сфере является интервал тритон, чем подсказал Архиту музыкальное доказательство иррациональности 
.
«Этос ладов» в современном мире не решается столь однозначно, как у древних греков, но вопрос этот интересен и важен для понимания воздействия средств музыкальной выразительности на восприятие слушателем идеи любого музыкального произведения.
Список используемой литературы
1. Пифагор: союз истины, добра и красоты. - М.: Просвещение, 1993.
2. Математика и искусство. - М.: Просвещение, 2000.
3. стория заподноевропейской музыки до 1789 года. - М.: Музыка, 1983.
4. Музыка как предмет логики / Из ранних произведений. - М.: Правда, 1990.
5. О природе средствах музыки: теоретический отчек. - М.: Музыка, 1991.
6. Статьи по теории и анализу музыки. - М.: Советский компазитор, 1982.
7. Звуковой мир музыки. - М.: Музыка, 1988.
8. Логика музыкальной композиции. - М.: Музыка, 1982.
9. и Учимся рассуждть и докзывать. - М.: Просвещение, 1989.
