Программа Вступительных экзаменов по специальности для поступающих в аспирантуру

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Обнинский институт атомной энергетики –

филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего

образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

(ИАТЭ НИЯУ МИФИ)

УТВЕРЖДАЮ

Проректор НИЯУ МИФИ, и. о. директора ИАТЭ НИЯУ МИФИ ____________

«______»____________ 2017 г.

ПРОГРАММА

Вступительных экзаменов по специальности для поступающих в аспирантуру

Шифр, название дисциплины

по направлению подготовки

01.06.01. Математика и механика

Шифр, название специальности/направления подготовки

Форма обучения: очная

г. Обнинск 2017 г.

Программа  вступительного испытания сформирована на основе федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования.

Форма проведения испытания:

Вступительное испытание проводится в виде собеседования с обязательным оформлением ответов на вопросы билета в письменном виде. Собеседование проводится с целью выявления у абитуриента объёма научных знаний, научно-исследовательских компетенций, навыков системного и критического мышления, необходимых для обучения в аспирантуре. Абитуриент должен показать профессиональное владение теорией и практикой в предметной области, продемонстрировать умение вести научную дискуссию.

Структура испытания:

Испытание состоит из ответов на вопросы билета и дополнительные вопросы.

Критерии оценки результатов испытания:

100-90 баллов - даны исчерпывающие и обоснованные ответы на вопросы, поставленные экзаменационной комиссией, абитуриент демонстрирует глубокие теоретические знания, умение сравнивать и оценивать различные научные подходы, пользоваться современной научной терминологией.

89-80 баллов - даны полные, достаточно глубокие и обоснованные ответы на вопросы, поставленные экзаменационной комиссией, абитуриент демонстрирует хорошие знания, умение пользоваться современной научной терминологией.

79-70 баллов - даны обоснованные ответы на вопросы, поставленные экзаменационной комиссией, абитуриент демонстрирует хорошие знания.

69-60 баллов - даны в целом правильные ответы на вопросы, поставленные экзаменационной комиссией, при этом абитуриент недостаточно аргументирует ответы.

59-0 баллов – абитуриент демонстрирует непонимание основного содержания теоретического материала, поверхностность и слабую аргументацию суждений или допущены значительные ошибки.

Решения экзаменационной комиссии принимаются большинством голосов.

Общая часть: Математика

Непрерывность функций одной и многих переменных, свойства непрерывных  функций. Полный дифференциал и его геометрический смысл. Достаточные условия дифференцируемости. Градиент. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Понятие метрического пространства, полные метрические пространства, компактность. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Принцип сходимости Коши. Функции с ограниченным изменением. Мера в смысле Лебега. Егорова, C–свойство. Абсолютно непрерывные функции. Суммируемые функции. Интеграл Лебега и его основные свойства. Гильбертовы пространства. Изоморфизм L2 и l2 . Сходимость в среднем. Интегральные уравнения Фредгольма. Теоремы Фредгольма. Ортогональные системы функций. Неравенство Бесселя, условие полноты. Ряды Фурье. Сходимость рядов Фурье. Линейные пространства, их подпространства. Базис, размерность. Теорема о ранге матрицы. Системы линейных уравнений. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений системы однородных линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Билинейные и квадратичные функции и формы в линейных пространствах, их матрицы. Приведение к нормальному виду. Закон инерции. Линейные отображения и преобразования линейного пространства, их задания матрицами. Характеристический многочлен. Собственные векторы и собственные значения, связь последних с характеристическими корнями. Приведение матрицы, линейного оператора к жордановой форме. Евклидово пространство. Ортонормированные базисы. Ортогональные матрицы. Ортогональные и самосопряженные преобразования, приведение квадратичной формы к главным осям. Аффинная и метрическая классификация кривых и поверхностей 2-го порядка. Проективная классификация линий 2-го порядка. Группы. Подгруппы. Порядок элемента. Циклические группы. Фактор-группы. Теорема о гомоморфизмах. Дифференциальное уравнение первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные. Линейные уравнения в частных производных второго порядка. Их классификация. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Задача Коши для уравнения струны. Первая краевая задача и задача Коши для уравнения теплопроводности. Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Элементарные функции комплексного переменного и даваемые ими конформные отображения. Простейшие многозначные функции. Дробно-линейные преобразования. Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру. Интеграл Коши. Ряд Тейлора. Аналитическое продолжение. Ряд Лорана. Полюс и существенно особая точка. Вычеты. Аналитическая функция в целом. Римановы поверхности.

Литература

Математический анализ. Ч. 2: Учеб. для вузов / . - 2-е изд., испр. и доп.- М.:МЦНМО, 2012.- 787c. Тер-,  Курс математического анализа. – М.: МФТИ, 2000. , , Лекции по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 2000. Курс математического анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001, 592 с. , Фомин  теории функций и функционального анализа. – М.: Физматлит, 2004. Лекции по аналитической геометрии. Наука, 1968 Обыкновенные дифференциальные уравнения / . – М.: Наука, 1984. – 272 с. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971 Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965. - 431 с. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975. Введение в теорию аналитических функций. М.: Наука, 1974. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1970. – 280 с. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Наука, 1961. Понтрягин, дифференциальные уравнения / . – И.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. сновы математического анализа. М.: Мир, 1976, 320 стр. Шабат. в комплексный анализ. М.: Наука, 1969. - 576 с.

Программа вступительного испытания

Направление:

01.06.01

«Математика и механика»

Профиль (направленность):  01.01.03  Математическая физика

Интегральные уравнения. Классификация. Оператор Гильберта-Шмидта и его степени. Метод исследовательских приближений. Теоремы о сходимости ряда Неймана. Существование и единственность решений уравнений Фредгольма и Вольтерра, Резольвента. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма. Распространение теории Фредгольма на общие ядра. Интегральные уравнения Фредгольма с эрмитовыми ядрами. Свойства собственных функций и характеристических значений. Теорема существования характеристического значения. Теорема о полном наборе характеристических значений и собственных функций эрмитового ядра и ее следствия. Теорема Гильберта-Шмидта и ее следствия. Билинейные ряды для эрмитового ядра  его итераций. Теорема о положительно определенном ядре. Экстремальный принцип. Непрерывные ядра. Теорема Мерсера и ее следствия. Уравнение Пайерлса. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в частных производных второго порядка. Уравнения гиперболического типа. Уравнение колебаний струны. Постановка краевых задач. Задача на бесконечной струне. Формула Даламбера. Корректность. Пример Адамара. Задачи на полу бесконечной струне.         Общая первая краевая задача и ее редукция. Задача на ограниченной струне (однородное уравнение). Обоснование метода Фурье. Неоднородное уравнение. Общая схема метода  разрешения переменных. Обоснование метода Фурье с помощью теоремы Мерсера. Неоднородное уравнение. Уравнения гидродинамики и акустики. Законы сохранения и ударные волны. Условия на разрыве. Задача о распространении волн в пространстве и на плоскости. Формула Пуассона и ее физическая интерпретация. Неоднородное уравнение. Общая задача Коши. Характеристики. Слабые разрывы. Задача о колебании ограниченных объемов. Уравнение теплопроводности и диффузии. Постановка краевых задач. Принцип максимума. Теоремы единственности и непрерывной зависимости для первой краевой задачи. Задача на ограниченном стержне (однородное уравнение). Обоснование метода Фурье. Случай неоднородного уравнения. Задача на бесконечном стержне. Функция источника. Обоснование формулы Пуассона. Задачи на полу бесконечном стержне с однородным и неоднородным краевым условием. Задача о распространении тепла в пространстве и ограниченных телах. Процессы, приводящие к уравнениям Лапласа и Пуассона. Постановка краевых задач. Гармонические функции. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Интегральное представление дважды дифференцируемой функции. Основные свойства гармонических функций. Принцип максимума и его следствия. Задача Дирихле для круга. Внешние краевые задачи. Теоремы единственности. Функция Грина для задачи Дирихле. Задача Дирихле для шара и ее обоснование. Пространства Соболева и обобщенные решения задач математической физики. Обобщенные функции и их свойства. Основное пространство и его топология, д-функция. Решение обобщенной задачи Коши для волнового уравнения.

Литература

1. , , Уравнения математической физики. Москва, «Наука», физматлит, 2004.А.

3. , , Интегральные уравнения, УРСС Москва, 2007.

4. , , Интегральные уравнения. Москва, «Наука», физматлит, 2004

5. , , Сборник задач по математической физике. – Москва.: «Наука», физматлит, 2003.

6.    Курс математической физики, Санкт Петербург, 2002.

Зав. кафедрой ПМ 

Профиль (направленность):  01.01.01  Математический анализ

Существование верхней и нижней грани. Принципы вложенных отрезков и предельной точки.

2.  Монотонные последовательности.  Числовые ряды. Предел, его

  свойства. Принцип Больцано - Вейерштрасса. Критерий Коши.

Функции. Непрерывность, предел функции. Классификация точек разрыва. Равномерная непрерывность. Теоремы Вейерштрасса, Кантора. Производная, ее свойства. Дифференциал, дифференцируемость. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ролля, Ферма, Лагранжа,  Коши. Правило Лопиталя. Исследование функции с помощью дифференциального исчисления. Функции нескольких переменных. Основные понятия: открытые и замкнутые множества, связное множество, область, область определения функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные и производная по направлению. Теорема о неявной функции. Зависимые функции. Матрица Якоби. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Определенный интеграл Римана. Критерии интегрируемости. Несобственные интегралы. Абсолютная и условная сходимости, их критерии и признаки. Функциональные ряды и последовательности. Равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости. Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру. Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. Условия сходимости ряда Фурье по тригонометрической системе. Кратные интегралы. Свойства кратных интегралов.

Зав. кафедрой ПМ 

Зав. кафедрой ВМ 

Профиль (направленность):  01.01.02  Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

(физико-математические науки)

Математический анализ. Существование верхней и нижней граней. Принципы вложенных отрезков и предельной точки. Монотонные последовательности. Числовые ряды. Предел, его свойства. Принцип Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши. Функции. Непрерывность, предел функции. Классификация точек разрыва. Равномерная непрерывность. Теоремы Вейерштрасса, Кантора. Производная, ее свойства. Дифференциал, дифференцируемость. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ролля, Ферма, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Исследование функций с помощью дифференциального исчисления. Функции нескольких переменных. Основные понятия: открытые и замкнутые множества, связанное множество, область, область определения функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные и производная по направлению. Теорема о неявной функции. Зависимые функции. Матрица Якоби. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Предельный интеграл Римана. Критерий интегрируемости. Несобственные интегралы. Абсолютная и условная сходимости, их критерии и признаки. Функциональные ряды и последовательности. Равномерная сходимость, признаки равномерной сходимости. Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность, дифференцируемость по параметру. Ортогональные систему функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. Условия сходимости ряды Фурье по тригонометрической системе. Кратные интегралы. Свойства кратных интегралов. Понятие поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Поверхностные интегралы 1 и 2 рода. Площадь поверхности. Теория поля. Основные дифференциальные операции. Интегральные операции векторного поля. Поток и циркуляция. Потенциальные и соленоидальные поля. Формулы Грина, Остроградского, Стокса. Инвариантное определение дивергенции и ротора.

Линейная алгебра

Линейное пространство. Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность и базис. Подпространство. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Метрические понятия: длина вектора, угол, расстояние. Ортогонализация. Ортонормированный базис. Выражение скалярного произведения в координатах. Матрицы. Операции над матрицами. Определители. Миноры, алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке и столбцу. Методы вычисления определителей. Обратная матрица, условия существования обратной матрицы. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Элементарные преобразования матрицы и вычисление ранга. Системы линейных уравнений. Запись в матричной форме. Теорема Крамера. Теорема Кронекера-Капелли. Условия существования ненулевого решения однородной системы. Общее решение однородной системы. Общее решение неоднородной системы. Линейный операторов и его матрица. Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису. Образ, ядро, дефект линейного оператора, связь с рангом матрицы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Условия существования базиса из собственных векторов. Характеристический полином. Альтернатива Фредгольма. Сопряженный оператор, самосопряженный оператор и их матрицы в ортонормированном базисе. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора.  Существование ортонормированного базиса из собственных векторов для самосопряженного оператора. Ортогональный оператор. Общий вид ортогонального операторов. Уравнение поверхности 2-го порядка в n-мерном пространстве. Приведение к каноническому виду. Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Классификация кривых 2-го порядка. Классификация поверхностей 2-го порядка в трехмерном пространстве.

Теория функций комплексного переменного

Предел, непрерывность, производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные отображения. Гармонические функции, связь с аналитическими. Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши. Интегральная формула Коши и следствия из нее. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки, их классификация. Вычеты. Теорема Коши о вычетах. Применение к вычислению интегралов. Преобразование Лапласа. Формула Меллина. Интеграл Люамеля. Операционный метод решения дифференциальных уравнений. Теорема Лиувилля. Теорема Вейерштрасса. Теорема Рунге.

Дифференциальные уравнения

Теоремы существования и непрерывной зависимости решения задачи Коши для линейных и нелинейных систем первого порядка. Линейные уравнения и системы  с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями. Линейные уравнения и системы с переменными коэффициентами. Многообразие решений. Формула Лиувилля-Остроградского. Автономные системы. Классификация особых точек. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Литература:

Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1984. ,   Основы математического анализа. М.: Наука, 1977.   Математический анализ. М.: Высшая школа, 1980.   Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980. ,   Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. , Теория функций комплексного переменного. М.: Высшая школа, 1979. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.

Зав. кафедрой  ВМ 

Профиль (направленность):  01.01.04 Геометрия и топология

Афинные и ортонормальные системы координат

Формулы замены координат. Вычисление склярных произведений длин отрезков, углов.

Геометрические основы теории определений

Одинаково и противоположно ориентированные реперы, ориентация пространства. Вычисление объема  параллелепипеда, построенного по реперу, через координаты составляющих вектора. Геометрический смысл детерминанта матрицы Грамма. Векторное и смешанное произведение в трехмерном ориентированном евклидовом пространстве.

Афинные подпространства.

Задание афинного подпространства параметрическим уравнением и системой уравнений 1-й степени. Определение взаимного расположения, расстояний и углов по коэффициентам уравнений.

Афинные и ортогональные отображения.

Связь афинных отображений с системами линейных уравнений. Существование и единственность афинного отображения, имеющего заданные значения в заданных точках. Афинные свойства фигур (прямолинейность, выпуклость, связность и т. п.) Инвариантные подпространства афинных и ортогональных преобразований. Разложение афинного отображения в произведение растяжения и ортогонального отображения.

Линии и поверхности 2-ого порядка.

Алгебраические поверхности. Пересечение алгебраической поверхности с прямой,  условие касания. Линия второго порядка (фокусы, асимптоты, оптические свойства). Строение поверхностей 2-ого порядка. Алгоритмы отыскания  канонического уравнения и главных осей поверхности, заданной общим уравнением 2-й степени.  Метод Лагранжа (метод выделения полных квадратов) для определения афинного типа поверхности 2-ого порядка.

Теория кривых.

Кривизна кривой. Соприкасающаяся плоскость, главная нормаль и бинормаль. Кручение кривой. Теорема о задании кривой натуральными уравнениями. Первая и вторая квадратичная формы. Универсальная связь между первой и второй квадратичными формами поверхности. Понятие о внутренней геометрии поверхностей и ее многомерном обобщении (римановой геометрии).

Риманова Геометрия.

Дифференцируемые многообразия. Векторные поля на многообразии. Скобка Ли векторных полей. Тензоры на многообразии. Линейная связность на многообразии. Тензоры кривизны и кручения. Геодезические кривые. Риманово многообразие. Связность Леви-Чивиты. Риманов тензор кривизны. Секционная, риччиевая и скалярная кривизны. Экспоненциальное отображение. Метрическая структура риманова многообразия.

Литература:

  Аналитическая геометрия.

  Дифференциальная геометрия.

иманова геометрия в целом.

Зав. кафедрой ВМ 

Профиль (направленность):  01.02.04 Механика деформируемого твердого тела

Растяжение, сжатие, сдвиг.

Напряжение и деформация. Испытание на растяжение. Линейная упругость и закон Гука. Продольные перемещения при осевом нагружении стержней. Статически неопределимые конструкции. Влияние изменения температуры и предварительного деформирования. Нелинейное поведение. Сдвигающее напряжение и деформация сдвига. Энергия деформации.

Исследование напряженного и деформируемого состояния.

Напряжение в наклонных сечениях. Двухосное напряженное состояния. Чистый сдвиг. Круг Мора для двухосного напряженного состояния. Трехосное напряженное состояние. Плоское деформированное состояние.

Кручение.

Кручение стержня кругового поперечного сечения. Кручение полого стержня  кругового поперечного сечения. Энергия деформации при кручении. Тонкостенные трубы. Неупругое кручение стержней кругового поперечного сечения

Поперечная сила и изгибающий момент.

Типы балок. Результирующие напряжения в балках. Соотношения между нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Напряжения в балках.

Нормальные напряжения в балках. Расчет балок. Касательные напряжения в балках. Касательные напряжения в балке кругового поперечного сечения. Составные балки. Главные напряжения в балках. Напряжения в непризматических балках; приближенная теория. Балка, изготовленная из различных материалов. Совместное действие изгибающего и крутящего моментов. Совместное действие изгибающей нагрузки и продольной силы.

Прогибы балок.

Дифференциальное уравнение линии прогибов. Свободно опертые балки. Консольные балки. Метод моментных площадей. Способ наложения. Непризматические балки. Метод конечных разностей. Энергия деформации при изгибе. Нагрузки, пропорциональные прогибу. Влияние изменения температуры. Влияние деформации сдвига. Большие прогибы балок.

Статистически неопределимые конструкции

Статистически неопределимые балки. Дифференциальное уравнение линии прогибов. Метод сил. Метод перемещений. Влияние изменения температуры. Влияние изменения длин элементов конструкции.

Устойчивость равновесия элементов конструкции

Статический метод Эйлера. Продольный изгиб стержня с начальным прогибом. Динамический критерий устойчивости.

Расчет конструкции и энергетические методы.

Принцип возможной работы. Применение метода единичной нагрузки для определения перемещений. Теоремы взаимности. Энергия деформации и дополнительная энергия. Методы, основанные на использовании энергии деформации. Методы, основанные на использовании потенциальной энергии. Метод сил. Вторая теорема Кастилиано.

Зав. Кафедрой МиПК