УДК 519.24
,
ПРИМЕНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ АЛГОРИТМОВ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Предлагается использование численного метода Монте-Карло для разрешения задачи принятия решения в условиях неопределенности.
Ключевые слова: нечеткие алгоритмы, плотности распределения вероятности, метод Монте-Карло, математическое моделирование.
Во многих сферах деятельности, в том числе и на морском транспорте, нередко приходится принимать решения в условиях неопределенности. В общем случае эту задачу можно представить следующим образом. Допустим, принятие решения сводится к выбору значения некого управляющего параметра Y, причем в условиях определенности эта задача решается тривиально – оптимальное значение переменной Y однозначно определяется значениями нескольких независимых экзогенных переменных. Для простоты будем считать, что их всего две, Х и Z. Известную зависимость Y(X, Z) назовем управляющей функцией. Пусть она задана аналитически, то есть, имея на входе значения переменных X и Z, можно с помощью некого решающего устройства получить искомое значение переменной Y (рис. 1).
Рис.1. Схема принятия решения в условиях определенности
В такой постановке задача аналогична, например, задаче выбора оптимального значения экзогенных переменных X и Z при заданной функции цели f(X, Z), которая решается путем нахождения максимума этой функции Argmax[f(X, Z)].
В условиях неопределенности задача осложняется тем, что сами значения всех или некоторых переменных на входе решающего устройства точно неизвестны, однако имеется информация о вероятности реализации тех или иных их значений в известной области допустимых значений (ОДЗ). В общем случае эта информация может выражаться в виде известных функций плотности распределения вероятности (в данном примере это р1(Х) и р2(Z)). В каком - то смысле такая постановка задачи аналогична теоретико-игровой, где игроки используют смешанные стратегии и надо, зная вероятности применения двумя игроками их стратегий, определить оптимальную смешанную стратегию третьего игрока [1]. С другой стороны, переменные X, Y и Z могут рассматриваться как нечеткие и тогда функции р1(Х) и р2(Z) являются функциями принадлежности соответствующих аргументов [2]. Тогда имеет место задача из области нечетких множеств, которая сводится к вычислению с помощью нечеткого алгоритма функции принадлежности переменной Y (назовем ее р(Y)) при заданных функциях принадлежности переменных Х и Z (рис. 2).
Рис. 2. Схема принятия решения в условиях неопределенности
Как известно, теория нечетких функций позволяет получить аналитическое решение такого рода задач только в случае очень простых функций f(X, Z), таким образом, поставленная задача должна решаться численно. Поэтому для получения алгоритма соответствующего решения полезно воспользоваться хорошо известной взаимосвязью между нечеткими и случайными функциями.
Рис. 3. Схема нечеткого алгоритма, основанного на методе Монте-Карло
Одним из возможных способов решения такой задачи является применение метода случайных испытаний, известного как метод Монте-Карло. Чтобы пояснить его суть применительно к данному случаю, рассмотрим деловую игру. Пусть три участника игры имитируют процесс принятия решения. Первые два игрока задают в соответствии с функциями р1(Х) и р2(Z) конкретные значения переменных Х и Z, а третий игрок в соответствии со схемой, показанной на рис.1, определяет значение переменной Y. Если сделать эту игру повторяемой, то за большое число раундов N мы получим представительный ансамбль реализаций значений переменной Y, по которому можно чисто статистически восстановить вид искомой функции плотности распределения вероятности р(Y). Для этого надо просто подсчитать частотность реализации значений переменной Y в разных интервалах области ее определения. При достаточно большом числе повторов игры N такой подход позволит оценить функцию р(Y) с необходимой точностью, введя соответствующее число интервалов значений переменной Y, для которых подсчитывается число реализаций в полученном ансамбле.
Использование датчика случайных чисел позволяет реализовать имитацию рассмотренной деловой игры на компьютере в виде повторяющегося много раз численного эксперимента, блок-схема которого приведена на рис.3. Процедура расчета заключается в вычислении N реализаций оптимальных значений управляющей переменной Y, каждое из которых рассчитывается по предварительно разыгранным значениям экзогенных переменных Х и Z в ходе очередного цикла. После проведения всех N циклов моделирования полученный массив значений Yi квантифицируется путем построения гистограммы для количества случаев попадания значений этой переменной в заданные интервалы ее значения, число которых сравнительно невелико.
Следует отметить, что данная схема является достаточно типичной для имитационной разновидности метода Монте-Карло [3], просто в данном случае она используется для численного решения задачи из области нечеткой математики. Применительно же к алгоритмам решения задач со случайными функциями она уже давно используется, в том числе в ряде стандартных компьютерных программ, разработанных для решения широкого круга задач математического моделирования [4].
ЛИТЕРАТУРА
Теория игр и исследование операций: Конспект лекций / . – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2013. – 129 с. Теория принятия решений / .- М.:Экзамен, 2005.-656 с. Траекторно-имитационное моделирование процессов переноса в геофизике:/ , .- Севастополь: Изд СевНТУ, 2008.-98с. , Моделирование функции случайных переменных по методу Монте-Карло. - В сб.: «Прикладные задачи математики и механики. – Материалы ХХ межд. науч. конф. – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2012. – С.160-162.
, І.
ВИКОРИСТАННЯ НЕЧІТКИХ АЛГОРИТМІВ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕННОСТІ
Пропонується використання чисельного методу Монте-Карло для вирішення задачі ухвалення рішення в умовах невизначенності.
Ключовi слова: нечіткі алгоритми, щільність розподілу вірогідності, метод Монте-Карло, математичне моделювання.
Dehterov A., Mordashev V.
APPLICATION OF FUZZY ALGORITHM UNDER UNCERTAINTY
Use of the numerical Monte-Carlo method for permission of a task of decision-making in the conditions of uncertainty is offered.
Keywords: indistinct algorithms, density of distribution of probability, Monte-Carlo method, mathematical modeling.
