Алгоритм решения квадратных неравенств

Алгоритм решения квадратных неравенств

Графический метод	Примеры
Решение неравенства графическим способом можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения. 1)Преобразуем неравенство второй степени с одной переменной (если необходимо приведём квадратный трёхчлен в правильный вид +bx+c>0 или +bx+c<0). Для его решения исследуем график функции y=+bx+c. 2)Графиком функции является парабола. 3)Определим,  в какую сторону направлены ветви параболы y=+bx+c. Напомним, что ветви зависят от а: если а<0, то ветви параболы направлены вниз, если а>0, то ветви направлены вверх (а не может равняться нулю). 4) Теперь находим нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс) при y=0. У нас получается квадратное уравнение, которое нужно решить и найти корни: +bx+c=0. 5) Сначала находим дискриминант, по всем известной формуле D=-4ac. Корни уравнения и будут являться нулями функциями. Если D>0 , то уравнение имеет 2 корня (если трёхчлен имеет корни, то их наносят на оси х) Если D<0, то уравнение не имеет корней (если трёхчлен не имеет корней, то парабола расположена либо в верхней при а>0 а>0, либо в нижней полуплоскости при а<0) Если D=0, то уравнение имеет 1 корень (в точке с координатой х парабола касается оси х) 6) После нахождения нулей функции, мы переходим к графику и анализируем его. Рисуем схематический рисунок, отмечая нули функции и направляя ветви так, как указали в пункте 3. Заметим, что для изображения схематического графика мы не определяем координаты вершины параболы. 7) По графику определяем, в каком промежутке на оси абсцисс соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения,  и записываем решение неравенства. Второй пример. Решите неравенство -+10x-16>0 1-3)Графиком у=-+10x-16 является парабола, ветви которой направлены вниз (так как а<0) 4-5)Находим нули функции: -+10x-16=0 D=100-64 D=36>0 (2 корня) ==8 ==2 (мы нашли нули функции) 6) Рисуем схем. рисунок        y         y=-+10x-16        2        8        0                        x 7) По графику видим, если y>0, то x Ответ: x	Первый пример. Решите неравенство +7x+12<0 Определим промежутки, в которых квадратичная функция принимает положительные значения. 1-3) +7x+12 является парабола, ветви которой направлены вверх ( так как  a>0)   4-5) Находим нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс):   +7x+12=0 D=49-48 D=1 →уравнение имеет 2 корня ==-4 ==-3 (мы нашли нули функции) 6) Теперь рисуем схематический рисунок Y y=+7x+12   X   -4        -3        0         7) По графику видим, если y<0, то x Ответ: x
Третий пример Решите неравенство +4x-50 1-3)Графиком у=+4x-5 является парабола, ветви которой направлены вверх. 4-5)Находим  нули функции: +4x-5=0 D=16+20 D=36 ==-5 ==1 (мы нашли нули функции) 6) Схематический рисунок         y +4x-5        x        -5        0  1 7) По график, если y0, то x[-5;1] Ответ: x[-5;1]
Метод интервалов 1)Записываем квадратное уравнение, для этого ту часть, в которой находится квадратный трёхчлен, приравниваем нулю. 2)Находим нули функции, используя формулу дискриминанта D=-4ac и корней или теорему Виета (+=-p ; =q) , получив предварительно приведённое квадратное уравнение вида +px+q=0 3) Напомним, что квадратный трёхчлен можно разложить на множители следующим образом: +bx+c =a(x-)(x-). Разложим  квадратный трёхчлен на множители. 4) Теперь нанесём на координатную прямую нули функции f(x) = a(x-)(x-) и найдём промежутки, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения. В каждом из промежутков, на которые нули функции разбивают область определения, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль изменяется.	Примеры Рассмотрим те же самые, чтобы было понятнее, что можно применять любой способ для решения. Пример первый +7x+12<0 1)+7x+12=0 2) По теореме  Виета +=-7  ; 3)+7x+12 =(x+3)(x+4) 4) Нанесём нули функции f(x) =(x+3)(x+4) разобьём область определения на промежутки. Определим знак функции в одном из них (например, при х=0) и, используя чередование знаков функции, выберем ответ, соответствующий знаку неравенства.        +        -4-        -3        0        +        X Ответ: x
Пример второй -+10x-16>0 1-2) -10x+16<0 По теореме Виета: +=10;  =16 8; =2 3-4) Нанесём нули функции f(x) = (x-8)(x-2) и разобьём область определения на промежутки. Определим знак функции в одном из них (например, при х=0) и, используя чередование знаков функции, выберем ответ, соответствующий знаку неравенства.        +        0        2                -        8        +        x Ответ: x(2;8)	Пример третий +4x-50 1-2) D=36 =1;  =-5 3-4) Нанесём нули функции f(x) = (x-1)(x+5) на координатную прямую и разобьём область определения на промежутки. Определим знак функции в одном из них (например, при х=0) и, используя чередование знаков функции, выберем ответ, соответствующий знаку неравенства.        +        -5        -        0        1        +        x         Ответ: x[-5;1]