Квантовая механика

квантовая механика

Коллоквиум

Эрмитовые операторы, собственные функции и собственные значения. Условия ортонормированности для дискретного и непрерывного спектров. Примеры: операторы координаты и импульса. Соотношение неопределенностей.
Плотность вероятности. Плотность тока вероятности. Уравнение непрерывности. Пример: плоская волна.
Уравнение Шредингера для стационарного и нестационарного состояния. Пример применения.
Спин электрона. Операторы, собственные функции, собственные значения. Принцип Паули и его обоснование.
Плотность квантовых состояний. Пример трехмерного газа.
Распределение Ферми по состояниям и по энергии. Электронный газ в металле и в полупроводнике. Химический потенциал.
Распределение Бозе по состояниям. Химический потенциал. Фононный газ. Характеристики фонона. Распределение по частоте. Частота и температура Дебая.

квантовая механика

Экзамен

Уравнение Шредингера для стационарного и нестационарного состояния. Краевые условия для прямоугольных потенциалов. Плотность вероятности, ток вероятности, уравнение непрерывности. Изменение физической величины с течением времени. Пример. Квазиклассическое квантование ВКБ. Туннельный эффект. Модель Кронига–Пенни. Получение и анализ дисперсионного соотношения. Разрешенные и запрещенные зоны. Модель Кронига–Пенни. Анализ дисперсионного соотношения. Зона Бриллюэна. Эффективная масса. Локализация Андерсона. Уровни Тамма. Уравнение Шредингера в сферической и цилиндрической системах координат. Плоский и пространственный ротаторы. Атом водорода. Заряд в однородном магнитном поле. Уровни Ландау. Теория возмущений стационарных состояний невырожденного спектра. Теория возмущений, зависящих от времени. Периодические возмущения. Уравнение Паули. Эффект Зеемана. Плотность квантовых состояний. Примеры. Каноническое распределение квантовой системы. Вычисление колебательной и вращательной частей внутренней энергии. Большое каноническое распределение фермионов и бозонов. Электронный газ в металле и полупроводнике. Химический потенциал. Двумерный и одномерный электронный газ. Фотонный газ. Фононный газ. Теплоемкость кристалла. Конденсация Бозе–Эйнштейна.

РЕЙТИНГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Итоговое число баллов складывается из баллов, получаемых за каждый вид деятельности.

№	Вид деятельности	Число баллов
1. 2. 3. 4.	Активность на занятиях (выставляется в конце 6-ой, 12-ой и 18-ой недели) Индивидуальное задание 1 Индивидуальное задание 2 Индивидуальное задание 3	(0–3) + (0–3) + (0–3)= 0–9 9–11 9–11 9–11
5.	Коллоквиум	Всего не более 40 20
6.	Экзамен: постановка задачи и качественный анализ результата + количественное обоснование результата + дополнительные вопросы по теме билета	Всего не более 60 0–20 0–10 0–10

Всего не более 100

Удовлетворительная итоговая аттестация до коллоквиума – (30–40).

Удовлетворительная итоговая аттестация до экзамена – (50–60).

Без сдачи экзамена:

если не сдана одна инд. работа, то не более 49 баллов и оценка FX – неуд.;

если активность на занятиях 1x3=3 балла, сданы 3 инд. работы по 9 баллов и коллоквиум, то всего 50 баллов и оценка Е – удовл.

МЕЖДУНАРОДНАЯ И РОССИЙСКАЯ ОЦЕНКИ

Число баллов	Оценка
международная	российская
90–100	97–100 93–96 90–92	A+ A A–	отл.
80–89	87–89 84–86 82–83 80–81	B+ B B– C+	хор.
70–79 60–69 50–59	75–79 70–74 66–69 63–65 60–62 50–59	C C– D+ D D– E	удовл.
25–49 0–24	25–49 0–24	FX F	неуд.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ  1

Для частицы в потенциальной яме где , получить допустимые значения энергии.
Найти собственные функции и собственные значения оператора , где ц – угловая переменная.
Найти собственные функции и собственные значения оператора .
Доказать, что если , то и , где разлагается в ряд Маклорена. Доказать, что для оператора радиального импульса собственные функции .
Для частицы с эффективной массой μ(x) доказать эрмитовость оператора кинетической энергии и неэрмитовость .
Доказать эрмитовость оператора проекции момента импульса в пространстве периодических функций . Доказать ,  .   Доказать, что если , то .
Доказать , , ,

.

Доказать ,  , .
Доказать  ,  .
Доказать  , 

.

Доказать 

.

Доказать  ,  .
Доказать  ,  .
Доказать  , 

.

Доказать  ,  .

Доказать  ,

.

Доказать  ,  .
Для оператора трансляции доказать

,  .

Для оператора радиального импульса доказать  ,  ,  . Для оператора радиального импульса доказать  ,

,  .

Для системы в состоянии , где φ – угловая переменная, найти вероятности обнаружения состояний , где
Для системы в состоянии , где φ – угловая переменная, найти вероятности обнаружения состояний , где
Доказать, что для состояний средние значения координаты и импульса связаны соотношениями и .
Доказать, что для состояний средние значения координаты и импульса связаны соотношениями и .
Доказать, что в поле с потенциальной энергией U(x) выполняется  .
Доказать, что состояния создают плотности тока вероятности , . Найти jx для .
Найти плотность тока вероятности для расходящейся сферической волны . Учесть .

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 2

На потенциальный барьер с единичной амплитудой падает частица с энергией . Найти вероятность обнаружения частицы при .

Найти фазу отраженной волны в задаче 2.1. Рассмотреть случаи и .
Найти амплитуды отраженной и проходящей волн.

Найти амплитуды отраженной и проходящей волн.

Частица с энергией находится в потенциальной яме. Найти волновые функции в областях 1, 2, 3.

Найти уровни энергии в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Волна падает на потенциальную яму Доказать, что уровни энергии удовлетворяют условию , где . Рассмотреть случай сильной ямы .

Доказать, что в потенциальной яме , энергии нечетного и четного состояний удовлетворяют , , где . Показать, что при большом расстоянии между ямами уровни совпадают с энергией одиночной δ-ямы, а сближение ям раздвигает уровни и при выполняется , т. е. .

Найти амплитуды и коэффициенты отражения от барьеров 

Методом ВКБ найти коэффициент прохождения электрона с энергией Е через барьер , где E – поле двойного электрического слоя толщиной a.

Найти спектр энергии и волновые функции для двумерной ямы шириной а и b с бесконечно высокими стенками.
Найти энергию частицы, проходящей без отражения через барьер .
Найти для состояния в прямоугольной яме –а ≤ x ≤ a с бесконечно высокими стенками.
Для волновой функции частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, найти вероятность обнаружения частицы в основном состоянии.
Для потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками найти вероятности обнаружения частицы в интервалах и для состояния .
Для линейного гармонического осциллятора найти .
Для линейного осциллятора доказать

.

Для состояния линейного осциллятора найти наиболее вероятное значение координаты.
Для линейного осциллятора доказать

.

Для состояния n линейного осциллятора доказать соотношение неопределенностей .
Для основного состояния линейного осциллятора доказать , .
Для двумерного, симметричного гармонического осциллятора найти волновые функции и доказать и – кратность вырождения, где
Для когерентного состояния гармонического осциллятора доказать , , , .